Rozwiąż równanie ( trygonometria )

[jaodryska]

Rozwiąż takie równanie, jak najszybciej to zrobić ?
\(\displaystyle{ x \in \RR ; \\
8\cos ^{4} - 8\cos ^{2}x + \frac{2- \sqrt{3} }{2} = 0 .}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ t=\cos^2x\\
t^2-t+ \frac{2- \sqrt{3} }{16}=0\\
\Delta= \frac{(1+ \sqrt{3} )^2}{8}}\)

[jaodryska]

skąd ta delta ? jak ci to wyszło ?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \Delta=(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot \frac{2- \sqrt{3} }{16} =1- \frac{2- \sqrt{3} }{4}= \frac{2+ \sqrt{3} }{4}=\frac{4+ 2\sqrt{3} }{8}=\\=\frac{1+ 2\sqrt{3} +( \sqrt{3} )^2}{8}= \frac{(1+ \sqrt{3} )^2}{8}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= \frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4} \\
t_1= \frac{1-\frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4}}{2} \vee t_2= \frac{1+\frac{ \sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4}}{2}}\)

Pewnie znasz wzór:
\(\displaystyle{ \cos 2x=2\cos^2x-1}\)
Tu masz:
\(\displaystyle{ \cos 2x=2\cos^2x-1=2t-1}\)

Stąd rozwiązania:
\(\displaystyle{ \cos 2x_2=2t_2-1= \frac{\sqrt{2}+ \sqrt{6} }{4} \\
2x_2=15^{\circ}+k \cdot 360^{\circ} \ \ \vee \ \ 2x_2=-15^{\circ}+k \cdot 360^{\circ} \\
x_2=7,5^{\circ}+k \cdot 180^{\circ} \ \ \vee \ \ x_2=-7,5^{\circ}+k \cdot 180^{\circ} \\
\\
\cos 2x_1=2t_1-1=\frac{- \sqrt{2}- \sqrt{6} }{4} \\
2x_1=180^{\circ}-15^{\circ}+k \cdot 360^{\circ} \ \ \vee \ \ 2x_1=180^{\circ}+15^{\circ}+k \cdot 360^{\circ} \\
x_1=82,5^{\circ}+k \cdot 180^{\circ} \ \ \vee \ \ x_1=97,5^{\circ}+k \cdot 180^{\circ}}\)

[jaodryska]

dzięki wielkie, wszystko jasne,