Zagwozdka w przykładzie z trygonometrii

[Sakaarson]

Nie jestem w stanie zrozumieć pewnego przykładu:

Treść: "Przedstawić w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone:"

\(\displaystyle{ z = -5}\)

Moje obliczenia:

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{(-5)^{2}+ 0^{2} }= \sqrt{25}=5}\)

\(\displaystyle{ \cos = \frac{-5}{5}=-1 \\
\sin = \frac{0}{5}=0}\)

Z czego wynika że to druga ćwiartka (\(\displaystyle{ \sin}\) jest dodatni a \(\displaystyle{ \cos}\) ujemny), więc używam wzoru:
\(\displaystyle{ \phi=\pi-\alpha}\)

Odczytując \(\displaystyle{ \cos}\) i \(\displaystyle{ \sin}\) wiem że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równa \(\displaystyle{ \pi}\).

Więc podstawiam pod wzór i tutaj nie jestem w stanie zrozumieć:

\(\displaystyle{ \phi = \pi - \pi = 0}\)

wynik:
\(\displaystyle{ z = 5(\cos 0 + i\sin 0) = 0?}\)

Czy to jest dobry wynik? Źle obliczam \(\displaystyle{ \phi}\)?

[miodzio1988]

Druga ćwiartka a wychodzi Ci kąt zero? Źle

[Sakaarson]

no właśnie, ale co w tym przypadku robić gdy jest 2 ćwiartka i cos sin z których wychodzi samo pi?

[kalwi]

\(\displaystyle{ -5=5(\cos\pi+j\sin\pi)}\)

[Sakaarson]

Dziekuję, ale dlaczego tak jest?

[Jan Kraszewski]

Z czego wynika że to druga ćwiartka (\(\displaystyle{ \sin}\) jest dodatni a \(\displaystyle{ \cos}\) ujemny), więc używam wzoru:
\(\displaystyle{ \phi=\pi-\alpha}\)

Możesz wytłumaczyć, co to znaczy?

Nawiasem mówiąc, sinus nie jest dodatni.

JK

[kalwi]

Dziekuję, ale dlaczego tak jest?

no po prostu, \(\displaystyle{ \sin\pi = 0, \ \cos\pi = -1}\)
Spójrz sobie na wykres tych funkcji, stąd najlepiej takie rzeczy patrzeć, a nie kuć się wzorków na pamięć