nierówność z arcusem, pi i e
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
nierówność z arcusem, pi i e
Postawiony problem jest równoważny z poniższym:
\(\displaystyle{ e^ \pi - \pi ^e<\tan \tfrac{3}{5}}\)
Metoda, którą przedstawię, chociaż niezbyt elegancka, oparta będzie na ułamkach łańcuchowych (i będzie wymagać paru faktów dotyczących teorii ułamków łańcuchowych).
Przede wszystkim odnotujmy, że zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5}}}<\tan x}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) (porównaj: rozwinięcie tangensa w ułamek łańcuchowy), co dla \(\displaystyle{ x=\tfrac{3}{5}}\) daje przybliżenie
\(\displaystyle{ \frac{366}{535}<\tan \tfrac{3}{5}}\)
Pozostaje rozwinąć \(\displaystyle{ e^{\pi}}\) oraz \(\displaystyle{ \pi^e}\) w stosowny ułamek łańcuchowy. Dla niewymiernej liczby \(\displaystyle{ \alpha>0}\) redukty parzystego rzędu mają wartości mniejsze od \(\displaystyle{ \alpha}\), natomiast dla nieparzystych reduktów zachodzi przeciwna nierówność.
Po niezbyt ciekawych rachunkach za pomocą klasycznego algorytmu wyznaczania kolejnych reduktów, uzyskujemy:
\(\displaystyle{ e^{\pi}<23+\frac{1}{7+\frac{1}{9+\frac{1}{3+\frac{1}{1+1}}}}=\frac{10691}{462}}\)
oraz
\(\displaystyle{ -\pi^{e}<-22-\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{1+1}}}=-\frac{539}{24}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ e^{\pi}-\pi^e<\frac{10691}{462}-\frac{539}{24}=\frac{1261}{1848}}\)
co jest wartością mniejszą niż \(\displaystyle{ \frac{366}{535}<\tan \tfrac{3}{5}}\). Stąd
\(\displaystyle{ e^{\pi}-\pi^e<\tan \tfrac{3}{5}}\)
Dla kompletności dowodu pozostaje wykazać nierówność szacującą tangensa ułamkiem łańcuchowym.
\(\displaystyle{ e^ \pi - \pi ^e<\tan \tfrac{3}{5}}\)
Metoda, którą przedstawię, chociaż niezbyt elegancka, oparta będzie na ułamkach łańcuchowych (i będzie wymagać paru faktów dotyczących teorii ułamków łańcuchowych).
Przede wszystkim odnotujmy, że zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5}}}<\tan x}\) dla \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) (porównaj: rozwinięcie tangensa w ułamek łańcuchowy), co dla \(\displaystyle{ x=\tfrac{3}{5}}\) daje przybliżenie
\(\displaystyle{ \frac{366}{535}<\tan \tfrac{3}{5}}\)
Pozostaje rozwinąć \(\displaystyle{ e^{\pi}}\) oraz \(\displaystyle{ \pi^e}\) w stosowny ułamek łańcuchowy. Dla niewymiernej liczby \(\displaystyle{ \alpha>0}\) redukty parzystego rzędu mają wartości mniejsze od \(\displaystyle{ \alpha}\), natomiast dla nieparzystych reduktów zachodzi przeciwna nierówność.
Po niezbyt ciekawych rachunkach za pomocą klasycznego algorytmu wyznaczania kolejnych reduktów, uzyskujemy:
\(\displaystyle{ e^{\pi}<23+\frac{1}{7+\frac{1}{9+\frac{1}{3+\frac{1}{1+1}}}}=\frac{10691}{462}}\)
oraz
\(\displaystyle{ -\pi^{e}<-22-\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{1+1}}}=-\frac{539}{24}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ e^{\pi}-\pi^e<\frac{10691}{462}-\frac{539}{24}=\frac{1261}{1848}}\)
co jest wartością mniejszą niż \(\displaystyle{ \frac{366}{535}<\tan \tfrac{3}{5}}\). Stąd
\(\displaystyle{ e^{\pi}-\pi^e<\tan \tfrac{3}{5}}\)
Dla kompletności dowodu pozostaje wykazać nierówność szacującą tangensa ułamkiem łańcuchowym.