Krótkie równanie maturalne z kiełbasy

[Madek123]

Hej czy mógłby mnie ktoś naprowadzić, gdzie popełniam bląd?

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x \right)}\)
Podnoszę do kwadratu obie strony z założeniem ze pod koniec będę sprawdzał wyniki.
\(\displaystyle{ 1+\sin \left( x \right) = 2\sin ^{2} \left( x \right)}\)
tj. gdy
\(\displaystyle{ \sin \left( x \right) = 1 \vee \sin x \left( x \right) = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi}\) OK \(\displaystyle{ \vee - \frac{5\pi}{6} + 2k\pi}\) OK \(\displaystyle{ \vee -\frac{\pi}{6} + 2k\pi}\) NIE OK
Jednak odpowiedź chyba jest niepoprawna ponieważ, \(\displaystyle{ \sin \left( x \right) = 1}\) pasuje tylko co drugi okres.

[kinia7]

Prawidłowa odpowiedź to
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+\frac43k\pi}\)

[Madek123]

Czyli wszystkie z tych odpowiedzi są poprawne ale tylko w któryś okresach :/
Da się to jakoś w sprawdzeniu sprawdzić? że np. ma byc co \(\displaystyle{ 4k\pi}\)
albo jakoś inaczej rozwiązać to zadanie?

[kinia7]

Podnoszenie do kwadratu zazwyczaj wprowadza pierwiastki obce. Ja wolę to robić tak:

\(\displaystyle{ \sin\left( \frac x2\right) +\cos\left( \frac x2\right) =\sqrt2\sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac x2\right) +\sin\left(\frac\pi2- \frac x2\right) =\sqrt2\sin x}\)
\(\displaystyle{ 2\sin\left( \frac\pi4\right)\cos\left(\frac\pi4- \frac x2\right) =\sqrt2\sin x}\)
\(\displaystyle{ \cos\left(\frac\pi4- \frac x2\right) =\sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac\pi4+ \frac x2\right) =\sin x}\)
\(\displaystyle{ \frac\pi4+ \frac x2=x+2n\pi\ \ \vee\ \ \pi-\frac\pi4- \frac x2=x+2m\pi\ \ \Rightarrow \ \ x=\frac\pi2+\frac43k\pi}\)

[Madek123]

Dzięki wielkie za pomoc

[Misholec]

Bardzo prosiłbym o pomoc z wytłumaczeniem ostatniej linijki zadania. Nie rozumiem, dlaczego jest tam alternatywa, której drugą częścią jest \(\displaystyle{ \pi- \frac{\pi}{4}- \frac{x}{2}}\). I z czego wynika ostateczny wynik.

Domyślam się, że chodzi o okresowość funkcji trygonometrycznych, ale nie umiem tego sobie wytłumaczyć w prosty sposób.

Przepraszam za kłopot.

[kinia7]

To wynika ze wzorów redukcyjnych

\(\displaystyle{ \sin(\pi- \alpha) =\sin \alpha}\)

więc ta druga część to

\(\displaystyle{ x=\pi-\left( \frac{\pi}{4}+\frac x2\right)}\) plus wielokrotność okresu

\(\displaystyle{ \frac\pi4+ \frac x2=x+2n\pi\ \ \vee\ \ \pi-\frac\pi4- \frac x2=x+2m\pi}\)

\(\displaystyle{ \frac\pi4+ \frac x2=x+2n\pi\ \ \Rightarrow \ \ \frac x2=\frac\pi4-2n\pi\ \ \Rightarrow \ \ x=\frac\pi2-4n\pi}\)

\(\displaystyle{ \pi-\frac\pi4- \frac x2=x+2m\pi\ \ \Rightarrow \ \ \frac32x=\frac34\pi-2m\pi\ \ \Rightarrow \ \ x=\frac\pi2-\frac43m\pi}\)

\(\displaystyle{ x=\frac\pi2-4n\pi\ \ \vee\ \ x=\frac\pi2-\frac43m\pi\ \ \Rightarrow \ \ x=\frac\pi2+\frac43k\pi}\)

to ostatnie zwiera w sobie:
pierwsze dla \(\displaystyle{ k=-3n}\)
drugie dla \(\displaystyle{ k=-m}\)

[Misholec]

Wielkie dzięki. Teraz już wszystko jest absolutnie jasne : ) Zastanawiam się tylko czy zawsze należy przedstawiać wynik przy równaniach trygonometrycznych jako sumę, której składnikiem jest okres czy może to zostać w formie różnicy? Bo jak rozumiem wyniki się nie zmienią, tylko \(\displaystyle{ k}\) będzie odpowiadać \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) o przeciwnych znakach?

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2}-\frac{4k\pi}{3}}\)

[kinia7]

Nie ma znaczenia, czy napiszemy \(\displaystyle{ +}\) czy \(\displaystyle{ -}\), bo \(\displaystyle{ k}\) jest dowolną liczbą całkowitą (dodatnią bądź ujemną lub zerem).

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{2}-\frac{4k\pi}{3}}\)

można równie dobrze podać w postaci:

\(\displaystyle{ {\red x =}\frac{\pi}{2}-\frac{4(k+1)\pi}{ 3}=\frac{\pi}{2}-\left(\frac{4k\pi}{ 3}+\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{3}-\frac{4k\pi}{ 3}{\red=-\frac{5\pi}{6}-\frac{4k\pi}{ 3}}}\)

i przedstawia to ten sam zbiór rozwiązań