wykazanie nierówności

[rochaj]

Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta ,\gamma}\) będą liczbami rzeczywistymi . Pokaż że

\(\displaystyle{ \sqrt{|\sin \alpha-\sin \beta|}+\sqrt{|\sin \beta -\sin \gamma|}+\sqrt{|\sin \gamma-\sin \alpha|}\le 2+\sqrt{2}}\)

[kropka+]

To nieprawda, niech

\(\displaystyle{ \sin \alpha =1, \sin\beta=0, \ \sin \gamma=-1}\)

wtedy mamy

\(\displaystyle{ \sqrt{|\sin \alpha-\sin \beta|}+\sqrt{|\sin \beta -\sin \gamma|}+\sqrt{|\sin \gamma-\sin \alpha|}=1+1+2=4>2+ \sqrt{2}}\)

Edit. Znalazłam błąd w swojej odpowiedzi

[Benny01]

Moim zdaniem Twój przykład jest ok.
Dostajemy \(\displaystyle{ 1+1+ \sqrt{2} \le 2+\sqrt{2}}\)

[kropka+]

Byłeś szybszy - odpisałeś zanim skasowałam swojego posta.

[bosa_Nike]

Niech \(\displaystyle{ x=\sin\alpha,y=\sin\beta,z=\sin\gamma}\). Można sprawdzić, że nie tracimy ogólności przyjmując \(\displaystyle{ x\ge y\ge z}\); wtedy \(\displaystyle{ |x-y|=x-y,|y-z|=y-z,|z-x|=x-z}\). Mamy z AM-GM i C-S:

\(\displaystyle{ L^2=2(x-z)+2\sqrt{(x-y)(y-z)}+2\sqrt{x-z}\left(\sqrt{y-z}+\sqrt{x-y}\right)\le\\ \\ 2(x-z)+\left((x-y)+(y-z)\right)+2\sqrt{x-z}\cdot\sqrt{2\left((y-z)+(x-y)\right)}=\\ \\ (x-z)\cdot\left(3+2\sqrt{2}\right)\le 2\left(3+2\sqrt{2}\right)=\left(2+\sqrt{2}\right)^2}\)

Z drugiej strony, równość jest osiągana dla \(\displaystyle{ x=1,y=0,z=-1}\), tzn. dla \(\displaystyle{ \alpha=\frac{\pi}{2},\beta=0,\gamma=-\frac{\pi}{2}}\).

[timon92]

zamiast kwadratowania, AM-GM i Schwarza można użyć po prostu AM-QM:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x-y} + \sqrt{y-z}}{2} \le \sqrt{\frac{x-y+y-z}{2}} = \sqrt{\frac{x-z}{2}}}\)
skąd
\(\displaystyle{ L = \sqrt{x-y} + \sqrt{y-z} + \sqrt{x-z} \le \sqrt{2(x-z)}+\sqrt{x-z} = \sqrt{x-z}(\sqrt 2 + 1) \le \sqrt 2(\sqrt 2 + 1)=2+\sqrt 2}\)