Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Gertis12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 kwie 2016, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: Gertis12 »

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ (x^2+1)^{\sin 2x+\cos 2x}=1}\)

Próbowałem zacząć przekształceniami:

\(\displaystyle{ (x^2+1)^{\sin 2x+\cos 2x}=(x^2+1)^0}\)

\(\displaystyle{ \sin 2x+\cos 2x=0}\)

\(\displaystyle{ 2\sin x\cos x+(\cos x)^2-(\sin x)^2=0}\)

...

Kontynuując tym sposobem wychodzi mi zły wynik, może zapomniałem o czymś, jakiś założeniach? Jakie macie pomysły? Z góry dzięki za pomoc
Ostatnio zmieniony 12 gru 2016, o 21:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
M Maciejewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 318
Rejestracja: 14 maja 2016, o 16:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Pomógł: 90 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: M Maciejewski »

Na pewno jest usterka: jeśli podstawa potęgi \(\displaystyle{ a:=x^2+1=1}\) (\(\displaystyle{ x=0}\)), to funkcja \(\displaystyle{ t\mapsto a^t}\) nie jest różnowartościowa.
Gertis12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 kwie 2016, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: Gertis12 »

Hmm... czyli odrzucenie zera z wyniku końcowego? Dalej nie chce wyjść.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: Jan Kraszewski »

Raczej dodanie zera do wyniku końcowego.

Może w dalszych rachunkach masz błąd?

JK
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: piasek101 »

Dla \(\displaystyle{ x=0}\) równanie jest spełnione.

,,Nie chce wyjść" - czyli ?
Gertis12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 kwie 2016, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: Gertis12 »

Rzeczywiście, pogubiłem się w dalszych rachunkach. Mógłby ktoś rozwiązać od momentu, w którym skończyłem?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: Jan Kraszewski »

Pokaż jak liczysz - wskażemy błędy.

JK
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: piasek101 »

Nie zmieniaj argumentu na pojedynczy, a jak koniecznie chcesz to \(\displaystyle{ 2x=t}\).
Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 704
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 94 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: kinia7 »

\(\displaystyle{ \sin2x+\cos2x=\sin2x-\sin\left( \frac{3\pi}{2}-2x \right) =0}\)

\(\displaystyle{ \sin2x=\sin\left( \frac{3\pi}{2}-2x \right)}\)

\(\displaystyle{ 2x= \frac{3\pi}{2}-2x +2k\pi}\)

\(\displaystyle{ 4x=\frac{3\pi}{2} +2k\pi}\)

\(\displaystyle{ x=\frac38\pi+\frac12k\pi}\) plus oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\)
Gertis12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 16 kwie 2016, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: Gertis12 »

I to jest dobry wynik - dzięki wielkie
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Rozwiąż równanie trygonometryczne.

Post autor: piasek101 »

Warto zauważyć, że z równości sinusów mamy dwie serie rozwiązań.

Tu (wyjątkowo) jedna z nich nie da rozwiązań.
ODPOWIEDZ