Równanie z dwiema niewiadomymi

[MrCommando]

Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych x, y spełniających równanie:
\(\displaystyle{ \tan^4x+\tan^4y+2\cot^2x \cdot \cot^2y=3+\sin^2(x+y)}\)

Próbowałem przekształcać to równanie na różne sposoby. Spróbowałem zapisać tangensy i cotangensy przy pomocy sinusów i cosinusów, rozwijać wyrażenie \(\displaystyle{ \sin^2(x+y)}\), a następnie korzystać z różnych wzorów trygonometrycznych oraz spróbowałem także z tej trójki po prawej stronie powyciągać iloczyny tangensa i cotangensa lub jedynki trygonometryczne, a potem przenieść na lewą stronę, tak żeby powstał tam kwadrat sumy albo różnicy, wtedy może coś by się uprościło (lewa strona kojarzy się z wyrażeniem \(\displaystyle{ (\tan^2x+\tan^2y)^2}\), tylko ten podwojony iloczyn kwadratów cotangensów przeszkadza i myślałem, żeby to jakoś przekształcić). Jednak niestety nie udało mi się dojść do niczego konstruktywnego.

[Premislav]

Najpierw dziedzina. Potem: z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy:
\(\displaystyle{ \frac{\tg^4 x+\tg^4 y+\ctg^2 x \ctg^2 y+\ctg^2 x\ctg^2 y}{4}=\\= \frac{\tg^4 x+\tg^4 y+ \frac{1}{\tg^2 x \tg^2 y} + \frac{1}{\tg^2 x \tg^2 y} }{4} \ge 1}\)
Zatem lewa strona Twojego równania ma wartość co najmniej \(\displaystyle{ 4}\) i równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \tg^4 x=\tg^4 y= \frac{1}{\tg^2 x \tg^2 y}}\).
Poza tym \(\displaystyle{ \sin^2(x+y)\le 1}\), więc z kolei prawa strona jest nie większa niż \(\displaystyle{ 4}\), a by była równa \(\displaystyle{ 4}\), ten sinus musi mieć wartość -1 albo 1.
Dokończ.

[MrCommando]

Zatem aby równość była spełniona to wartość obydwu stron musi być równa 4.
Czyli musi zachodzić \(\displaystyle{ \tan^4x=\tan^4y=\frac{1}{\tan^2x\tan^2y}}\)
Z równości \(\displaystyle{ \tan^4x=\tan^4y}\) mamy
\(\displaystyle{ \tan x=\tan y \vee \tan x=-\tan y}\).
Czyli:
\(\displaystyle{ \tan^4x=\frac{1}{\tan^2x\tan^2y} \\
\tan^4x=\frac{1}{\tan^4x} \\
\tan x=1 \vee \tan x=-1 \\
x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \vee x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}}\)
Rozwiązania należą do dziedziny, gdyź \(\displaystyle{ x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \wedge x\neq k\pi, k\in \mathbb{Z}}\).
Z równości \(\displaystyle{ \tan x=\tan y \vee \tan x=-\tan y}\) wyliczamy y i dostajemy cztery pary liczb x, y.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\y=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \end{array} \vee}\) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\y=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \end{array} \vee}\) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\y=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \end{array} \vee}\) \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}\\y=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \end{array}}\)
Wszystkie rozwiązania należą do dziedziny.

[Premislav]

Nie do końca dobrze z tymi rozwiązaniami, mp. dla trzeciego i czwartego przypadku dostaniesz sinusa równego \(\displaystyle{ 0}\), więc prawa strona równania przyjmie wartość \(\displaystyle{ 3}\).

Ponadto to \(\displaystyle{ k}\) nie musi być takie samo dla \(\displaystyle{ x}\) i dla \(\displaystyle{ y}\), ale może to już detal... Np. para \(\displaystyle{ x=\frac \pi 4, y=\frac 9 4\pi}\) jest rozwiązaniem, a nie wygenerujesz jej tu z żadnej z Twoich serii rozwiązań.

[MrCommando]

Racja, dzięki za zwrócenie uwagi. Czyli po prostu po otrzymaniu tych czterech rozwiązań musimy jeszcze sprawdzić, które będą spełniały równanie i odrzucić te, które go nie spełniają. Wtedy zostanie tylko pierwszy i drugi przypadek. Co do tego \(\displaystyle{ k}\), to rzeczywiście - moje przeoczenie, nie musi być takie samo dla \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).