Wykaż że trójkąt

Ras Verse · Post autor: **Ras Verse** » 5 gru 2016, o 17:19

Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) są kątami trójkąta takimi że \(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha - \sin ^{2} \beta=\sin ( \alpha - \beta)}\) to trójkąt jest równoramienny lub prostokątny.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 5 gru 2016, o 18:01

Może trochę naokoło, ale chyba lepiej będzie wiadomo, co skąd. Rozbij lewą stronę ze wzoru na różnicę kwadratów i do każdego czynnika zastosuj wzór odpowiednio na sumę i różnicę sinusów. Później poszukaj sinusów podwojonego kąta. Na koniec przenieś na jedną stronę, wyciągnij przed nawias wspólny czynnik. Sformułuj wnioski.

Ras Verse · Post autor: **Ras Verse** » 5 gru 2016, o 18:15

Nie widzę tych sinusów podwojonych, możesz mi pokazać gdzie one są?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 5 gru 2016, o 18:17

Napisz, co otrzymałeś dotychczas.

Ras Verse · Post autor: **Ras Verse** » 5 gru 2016, o 18:21

Po lewej
\(\displaystyle{ \left( 2\sin \frac{ \alpha+ \beta }{ 2 }\cos \frac{ \alpha - \beta }{2} \right)}\)\(\displaystyle{ \left( 2\sin \frac{ \alpha - \beta }{2}\cos \frac{ \alpha + \beta }{2} \right)}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 gru 2016, o 18:21

Funkcje podwojonego kąta wyskoczą trochę szybciej, jeśli dwukrotnie skorzystamy z tożsamości
\(\displaystyle{ \sin^2 x= \frac{1-\cos 2x}{2}}\), która z kolei wynika ze wzoru na cosinus podwojonego kąta.

Następnie wzór na różnicę cosinusów, przeniesienie i wyłączenie przed nawias \(\displaystyle{ \sin(\alpha-\beta)}\) i po zadaniu.

-- 5 gru 2016, o 18:23 --

A jeśli już masz taką postać, jak napisałeś, to zapisz lewą stronę trochę inaczej:
\(\displaystyle{ \left( 2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} \right) \left(2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \right)}\)
Teraz w każdym z nawiasów zwiń wyrażenie ze wzoru na sinus podwojonego kąta.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 5 gru 2016, o 18:26

@Ras Verse - dobrze, pogrupuj funkcje tego samego kąta, tzn. \(\displaystyle{ \frac{\alpha +\beta}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\alpha -\beta}{2}}\), wtedy będzie widać.

Ras Verse · Post autor: **Ras Verse** » 5 gru 2016, o 18:32

Z tej postaci mam wyciągać wnioski?
\(\displaystyle{ \sin ( \alpha - \beta )[\sin ( \alpha + \beta )-1]=0}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 gru 2016, o 18:36

Zgadza się.

Ras Verse · Post autor: **Ras Verse** » 5 gru 2016, o 18:45

wnioski
Mnożenie daje wynik 0 gdy jeden z czynników jest równy 0.
Aby dana równość była prawdziwa są dwie możliwości:
1. \(\displaystyle{ \sin ( \alpha - \beta)=0}\) zachodzi to dla \(\displaystyle{ \alpha = \beta}\), w tym wypadku jest to trójkąt równoramienny.
2. \(\displaystyle{ \sin ( \alpha + \beta )-1=0}\), zachodzi to dla \(\displaystyle{ \alpha + \beta =90}\), w tym wypadku jest to trójkąt prostokątny

Czy to dobre wnioski? Bo ogólnie wiem o co chodzi tylko miałem trochę problem ze sformułowaniem tego.

Premislav · Post autor: **Premislav** » 5 gru 2016, o 18:46

Tak, wnioski są jak najbardziej poprawne.

Ras Verse · Post autor: **Ras Verse** » 5 gru 2016, o 18:47

Dziękuję bardzo za pomoc