Tożsamości trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Ras Verse
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 24 cze 2016, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stalowa Wola
Podziękował: 1 raz

Tożsamości trygonometryczne

Post autor: Ras Verse »

Sprawdź tożsamość trygonometryczną. Dochodzę do sprzeczności, proszę o sprawdzenie czy tak ma być.
\(\displaystyle{ 2 \left( \ctg \left( x \right) + \frac{1}{\sin \left( 2x \right) } \right) =\ctg \frac{x}{2} -\tg \frac{x}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 2 gru 2016, o 20:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Tożsamości trygonometryczne

Post autor: Premislav »

Ech, a w pierwszej sekundzie myślałem, że masz nick Varelse:


Tak to jest, gdy się nie umie czytać.

Do rzeczy: zacząłbym od dziedziny, następnie
\(\displaystyle{ \ctg x= \frac{\cos x}{\sin x} \\ \sin2x=2\sin x \cos x\\ \cos x= \frac{\cos^2\frac x 2-\sin^2 \frac x 2}{\cos^2\frac x 2+\sin^2\frac x 2}\\ \sin x= \frac{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}{\cos^2 \frac x 2+\sin^2 \frac x 2}}\)

Podstawiając dla uproszczenia \(\displaystyle{ t=\tg \frac x 2}\), widzimy, że prawa strona przyjmuje postać \(\displaystyle{ \frac 1 t-t}\), a lewa strona, z uwagi na powyższe wzory, przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \frac{2-2t^2}{2t}+ \frac{(1+t^2)^2}{2t(1-t^2)}}\)
Więc wystarczy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \frac{2-2t^2}{2t}+ \frac{(1+t^2)^2}{2t(1-t^2)}=\frac 1 t-t}\) dla każdego \(\displaystyle{ t}\) należącego do dziedziny.
No i jak na moje oko to nie zawsze zachodzi, ale lepiej się upewnić.-- 2 gru 2016, o 20:05 --Tak, nawet wystarczy bez tych mozolnych przekształceń wstawić \(\displaystyle{ x=\frac \pi 3}\) i nie ma równości.
ODPOWIEDZ