funkcja trygonometryczna - dowodzenie

[werix7]

Trójkąt ma boki \(\displaystyle{ a, b, c}\) i kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) (kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) leży naprzeciwko boku o długości \(\displaystyle{ a}\) id.) Wykaż, że
\(\displaystyle{ a \cdot \cos \left( \frac{ \beta-\gamma}{2} \right) =b \cdot \sin \frac{ \alpha }{2} + c \cdot \sin \frac{ \alpha }{2}}\).

[kerajs]

Niech d będzie dwusieczną kata \(\displaystyle{ \alpha}\)która tnie bok a na odcinki x oraz a-x. Niech kątem ostrym miedzy d oraz a będzie \(\displaystyle{ \delta}\)
Pole trójkąta to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}bd\sin \frac{ \alpha }{2} + \frac{1}{2}cd\sin \frac{ \alpha }{2}= \frac{1}{2}xd\sin \delta+ \frac{1}{2} \left( a-x \right) d\sin \left( \pi-\delta \right) \\
b\sin \frac{ \alpha }{2} + c\sin \frac{ \alpha }{2}= x\sin \delta+ \left( a-x \right) \sin \delta\\
b\sin \frac{ \alpha }{2} + c\sin \frac{ \alpha }{2}= a\sin \delta}\)
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \cos \frac{ \beta - \gamma }{2} = \cos \frac{ \left( \pi- \alpha -\gamma \right) - \gamma }{2} = \cos \frac{ \pi- \alpha -2\gamma }{2} = \cos \left( \frac{\pi}{2}- \left( \frac{ \alpha }{2} +\gamma \right) \right) =\\=\sin \left( \frac{ \alpha }{2} +\gamma \right) =\sin \left( \pi- \left( \frac{ \alpha }{2} +\gamma \right) \right) =\sin \delta \ \left( lub \ \sin \left( \pi -\delta \right) =\sin \delta \right)}\)

Ale pewnie można ładniej i szybciej to rozwiązać.