Równanie trygonometryczne od pana kiełbasy

[WhistleX]

\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{2} \cdot \sin x}\)

Próbowałem podnieść równanie do kwadratu doszedłem do wyniku \(\displaystyle{ \sin x=1 \vee \sin x=- \frac{1}{2}}\), ale nie stety nie jest zgodne to z odpowiedzią ;/

A tu drugie równanko:

\(\displaystyle{ \sin ^{2}x+\sin ^{2}2x=\sin ^{2}3x}\)

[kropka+]

Żeby pisać w \(\displaystyle{ \LaTeX-u}\) musisz podświetlić całą formułę i nacisnąć przycisk

Kod: Zaznacz cały

tex

który jest nad okienkiem. Równanie powinno być wpisane tak

Kod: Zaznacz cały

[tex]sin( frac{x}{2} ) + cos( frac{x}{2} )= sqrt{2}  cdot sin x[/tex]

Przeedytuj posta.

[WhistleX]

Ok, poprawione.

[Premislav]

1) \(\displaystyle{ sinleft( frac x 2
ight) +cosleft( frac x 2
ight)=cosleft(frac pi 2-frac x 2
ight)+cosleft(frac x 2
ight)}\)
Następnie możesz zastosować wzór na sumę cosinusów, który masz np. tutaj:
2514.htm


2) pojawiło się już tutaj: 412435.htm#p5457544

[WhistleX]

Ok, z drugim nie mam już problemu. Ale w pierwszym nie wiem, jak zrobiłeś \(\displaystyle{ \cos \left( \frac{ \pi }{2} - \frac{x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right)}\) z \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sin x}\)

[Premislav]

Może trochę zbyt skrótowo napisałem. W pierwszym ja przekształcałem lewą stronę.
Gdy zastosujesz wzór na sumę cosinusów do tej przekształconej lewej strony, to dostaniesz bodajże
równoważne wyjściowemu równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\cos\left( x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin x}\), czyli po skorzystaniu
z \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\left(\frac \pi 2 - \alpha\right)}\) i podzieleniu przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
otrzymasz równanie
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac {3\pi}{4}-x\right)=\sin x}\)

[WhistleX]

Nie rozumiem, chciałbym, żebyś rozpisał krok po kroku przejście z \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sin x}\) do \(\displaystyle{ \cos\left(\frac \pi 2-\frac x 2\right)+\cos\left(\frac x 2\right)}\).

[Premislav]

A ja bym chciał mieć dobrą pracę i żeby wojen nie było.

\(\displaystyle{ sin \left( \frac{x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{2} \cdot \sin x}\)
Korzystając z własności \(\displaystyle{ \sin \alpha=\cos\left(\frac \pi 2 - \alpha\right)}\), zapisuję to w formie:
\(\displaystyle{ \cos \left(\frac \pi 2- \frac{x}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} \right) = \sqrt{2} \cdot \sin x}\)
Potem po lewej używam wzoru na sumę cosinusów i otrzymuję równoważnie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\cos \left(x-\frac \pi 4\right)=\sqrt{2}\sin x}\)
Wreszcie używam tożsamości \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\left(\frac \pi 2-\alpha\right)}\), co daje
\(\displaystyle{ \sqrt{2}\sin\left( \frac{3\pi}{4}-x\right)=\sqrt{2}\sin x}\)