Najmniejsza całkowita wartość funkcji

[wolder]

Wyznacz najmniejszą całkowitą wartość funkcji

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{4}{5-3\sin x}}\)

Nie mam pojęcia jak zabrać się do tego zadania. Jakieś wskazówki?

Może moje rozwiązanie jest trochę abstrakcyjne, ale nie mam żadnego innego pomysłu, skoro dla:

\(\displaystyle{ f \left( x \right) =5-3\sin x}\)

\(\displaystyle{ f \left( x \right) \in \left\langle 2,8 \right\rangle}\)

to po wstawieniu tego do

\(\displaystyle{ \frac{4}{x}}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \left\langle \frac{4}{2} , \frac{4}{8} \right\rangle}\)

\(\displaystyle{ \left\langle 2, \frac{4}{8} \right\rangle}\)

Wychodzi 1, co też zgadza się z odpowiedziami.

[squared]

Zacznij od zastanowienia się kiedy \(\displaystyle{ \frac{4}{A}}\) jest całkowite?

[wolder]

kiedy

\(\displaystyle{ A=\left\{ 4,-4,2,-2,1,-1\right\}}\)

[Larsonik]

Czyli musi zajść warunek \(\displaystyle{ 5-3\sin x \in A}\). Odpowiedź do zadania wynika z równości \(\displaystyle{ 5-3\sin x = 4}\). Istnieje \(\displaystyle{ x}\) je spełniający. Przydatne jest też określenie zbioru wartości tego wyrażenia, co wcześniej zrobiłeś, zeby nie rozpatrywać każdego równania osobno.

[squared]

Ten zbiór nie jest pełny jeszcze. Tzn. może być \(\displaystyle{ \frac{1}{70}, \frac{2}{145}}\) itd. Oczywiście będą odrzucone, ale trzeba mieć świadomość, dlaczego coś możemy pominąć.

[wolder]

skoro

\(\displaystyle{ 5-3\sin x=A}\)

to podstawiając kolejno za \(\displaystyle{ A: -4,4,-2,2,-1,1}\)

wyszło mi tylko coś sensownego dla \(\displaystyle{ A=2}\) i \(\displaystyle{ A=4}\)

mianowicie, że

\(\displaystyle{ \sin x=1}\)

i

\(\displaystyle{ \sin x= \frac{1}{3}}\)

[Larsonik]

I to też się zgadza ze zbiorem wartości przez ciebie przedstawionym. Teraz zastanów się, dla której wartości sinusa funkcja przyjmuje mniejszą wartość i tyle.