Czy ten wykres arcctg(ctgx) jest poprawny?

[mint18]

Wydawało mi się, że funkcja \(\displaystyle{ \arc\ctg x}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ (0, \pi )}\).

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=arcctg%28ctg%28x%29%29

[dec1]

To prawda, no ale \(\displaystyle{ \ctg x}\) dla większości wartości \(\displaystyle{ x}\) też jest w przedziale \(\displaystyle{ (0, \pi)}\), zauważ, że na tym wykresie są małe przerwy.

[mint18]

Również \(\displaystyle{ \arc\ctg x = \arc\tg \frac{1}{x}}\) więc pewnie o to chodzi, bo zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ \arc\tg x}\) jest \(\displaystyle{ \left( - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)}\).

[Jakbog]

Zgodnie z , zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ \arc\ctg}\) dla Wolframa jest zbiór \(\displaystyle{ \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)\cup\left(0, \frac{\pi}{2}\right]}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 0, \pi\right)}\).

Generalnie żeby dobrze określić funkcje odwrotne do trygonometrycznych, trzeba wybrać taki "fragment", gdzie funkcje trygonometryczne są różnowartościowe i "na". Dla funkcji \(\displaystyle{ \ctg}\) przeważnie bierze się przedział \(\displaystyle{ \left( 0, \pi\right)}\). To szeroko przyjęta konwencja, aczkolwiek - jak widać - zdarzają się od niej odstępstwa. W przypadku Wolframa został wybrany zbiór \(\displaystyle{ \left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)\cup\left.\left(0, \frac{\pi}{2}\right.\right]}\) - czyli jest to zrobione tak, aby \(\displaystyle{ \arc\ctg(0)}\) wynosił \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), a nie \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}}\). Oczywiście równie dobrze można by rozważać funkcję \(\displaystyle{ \ctg}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left( 2016\pi, 2017\pi\right)}\) i na nim określić funkcję odwrotną - wtedy zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ \arc\ctg}\) byłby przedział \(\displaystyle{ \left( 2016\pi, 2017\pi\right)}\).

Dlaczego tak to zostało zrobione? Nie wiem. Wiem natomiast, że przy takim zdefiniowaniu funkcji \(\displaystyle{ \arc\ctg}\) tożsamość \(\displaystyle{ \arc\ctg\left( \frac{1}{x}\right) = \arc\tg(x)}\) zachodzi dla dowolnej liczby różnej od zera. W przypadku standardowej definicji mamy tożsamość \(\displaystyle{ \arc\ctg\left( \frac{1}{x}\right) = \arc\tg(x)}\) dla \(\displaystyle{ x> 0}\) oraz \(\displaystyle{ \arc\ctg\left( \frac{1}{x}\right) = \pi+\arc\tg(x)}\) dla \(\displaystyle{ x< 0}\). Druga tożsamość jest dość łatwa do zauważenia na podstawie wykresu funkcji \(\displaystyle{ \ctg x}\) - wystarczy spojrzeć, które "kawałki" cotangensa bierzemy w jednym, a które w drugim przypadku.

To pozwala Wolframowi powiedzieć, że Twoją funkcję \(\displaystyle{ \arc\ctg(\ctg x)}\) można przedstawić jako \(\displaystyle{ \arc\tg(\tg x)}\). Oczywiście należy pamiętać o dziedzinie - tożsamość zachodzi w sytuacji, gdy \(\displaystyle{ \tg x \neq 0}\), czyli wtedy, gdy funkcja \(\displaystyle{ \ctg}\) jest dobrze określona. Zatem wykresem funkcji \(\displaystyle{ \arc\ctg(\ctg x)}\) według Wolframa będzie wykres funkcji \(\displaystyle{ \arc\tg(\tg x)}\) z "wyrzuconymi" wielokrotnościami \(\displaystyle{ \pi}\).

A jak będzie wyglądał wykres funkcji \(\displaystyle{ \arc\ctg(\ctg x)}\) w "standardowej" sytuacji? . Można to udowodnić, rozważając odpowiednie przypadki i korzystając z powyższych tożsamości dla \(\displaystyle{ \arc\ctg\left(\frac{1}{x}\right)}\).