Rozwiąż równanie trygonometryczny

[wolder]

Mam rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \sin ^2 \left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) +\sin ^2 \left( x- \frac{ \pi }{3} \right) = \frac{1}{2}}\)

składam więc równanie do prostszej postaci:

\(\displaystyle{ \sin ^2 \left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) +\sin ^2 \left( x- \frac{ \pi }{3} \right) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left[ \sin \left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) +\sin \left( x- \frac{ \pi }{3} \right) \right] ^2-2\sin \left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) \sin \left( x- \frac{ \pi }{3} \right) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left( 2\sin x\cos \frac{ \pi }{3} \right) ^2-2\sin \left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) \sin \left( x- \frac{ \pi }{3} \right) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin ^2x-2\sin \left( x+ \frac{ \pi }{3} \right) \sin \left( x- \frac{ \pi }{3} \right) = \frac{1}{2}}\)

Ktoś ma pomysł co dalej z tym?

[Chewbacca97]

Skorzystaj ze wzoru na różnicę kosinusów: \(\displaystyle{ \cos x - \cos y = -2\sin\left( \frac{x+y}{2} \right) \sin\left( \frac{x-y}{2} \right)}\). Potem możesz zapisać \(\displaystyle{ \sin^2 x = \frac{1-\cos2x}{2}}\). I voilà!