Dodawanie funkcji trygonometrycznych

[Akiro]

1) Naszkicuj wykres funkcji -> Mi wystarczy rozłożenie problemu na czynniki, bo narysować mogę sobie w dowolnym, przeznaczonym do tego programie
\(\displaystyle{ y=\left|\sin x\right| + \sin x \\
y=\sin x+ \sqrt{3}\cos x}\)

Chodzi mi o rozłożenie tych funkcji na taką postać, z której już się będzie dało narysować wykres.

Ja póbowałem tak:
Pierwszą funkcje zrobić osobne warunki dla \(\displaystyle{ x> 0, x < 0}\), jednak wykres, który mi z tego wychodzi jest błędy.

Drugą funkcje próbowałem połączyć z jedyną trygonometryczną (zastanawiam się czy tak można) i funkcja, która mi wychodzi jest jedynie przesuniętym sinusem chyba o \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}.}\)

[kerajs]

\(\displaystyle{ y=\sin x + \left|\sin x \right|=\begin{cases} 2\sin x &\text{dla } \sin x \ge 0\\ 0&\text{dla } \sin x<0 \end{cases}\\
y=\begin{cases} 2\sin x &\text{dla } x \in \left\langle 2k \pi ; \pi +2k \pi \right\rangle \\ 0&\text{dla } x \in \left( \pi +2k \pi ,2\pi +2k \pi \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y=\sin x + \sqrt{3} \cos x=2 \left( \frac{1}{2}\sin x + \frac{ \sqrt{3}}{2} \cos x\right)=2\sin\left( x+ \frac{ \pi }{3} \right)}\)

[Akiro]

\(\displaystyle{ y=\sin x + \left|\sin x \right|=\begin{cases} 2\sin x &\text{dla } \sin x \ge 0\\ 0&\text{dla } \sin x<0 \end{cases}\\
y=\begin{cases} 2\sin x &\text{dla } x \in \left\langle 2k \pi ; \pi +2k \pi \right\rangle \\ 0&\text{dla } x \in \left( \pi +2k \pi ,2\pi +2k \pi \right) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y=\sin x + \sqrt{3} \cos x=2 \left( \frac{1}{2}\sin x + \frac{ \sqrt{3}}{2} \cos x\right)=2\sin\left( x+ \frac{ \pi }{3} \right)}\)

Mógłbyś rozwinąć:
Pierwsza funkcja - skąd wziąłeś tamtą dziedzine?

Druga funkcja - dlaczego wyciągnąłeś 2 przed nawias i uzyskanie jakiego wzoru było to celem?

[kerajs]

Ad 1)
Założenia wynikają z wartości bezwzględnej:
\(\displaystyle{ \left| f(x)\right| = \begin{cases} f(x) &\text{dla } f(x) \ge 0\\ -f(x) &\text{dla } f(x)<0 \end{cases}}\)
Więc:
\(\displaystyle{ \left| \sin x \right| = \begin{cases} \sin x &\text{dla } \sin x \ge 0\\ - \sin x &\text{dla } \sin x <0 \end{cases}}\)
Przedziały liczbowe to rozwiązania nierówności z zrobionych założeń.


Ad 2)
Twój przykład można uogólnić
\(\displaystyle{ A\sin x +B\cos x = \sqrt{A^2+B^2}\left( \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\sin x + \frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}\cos x \right)= \sqrt{A^2+B^2}\sin\left( x+ \alpha \right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}=\cos \alpha \\ \frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}=\sin \alpha\end{cases}}\)

lub:
\(\displaystyle{ A\sin x +B\cos x = \sqrt{A^2+B^2}\left( \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}\sin x + \frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}\cos x \right)= \sqrt{A^2+B^2}\cos\left( x- \alpha \right)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{A}{ \sqrt{A^2+B^2}}=\sin \alpha \\ \frac{B}{ \sqrt{A^2+B^2}}=\cos \alpha\end{cases}}\)

[Larsonik]

Akiro pytał o wzór, a więc \(\displaystyle{ 2 \left( \frac{1}{2}\sin x + \frac{ \sqrt{3}}{2} \cos x\right)= 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} \sin x + \sin \frac{\pi}{3} \cos x \right)}\). Teraz można to porównać ze wzorem na sinus sumy kątów.