Nierówność cosx z war. bezwzględną

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
wolder
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 17 wrz 2015, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 7 razy

Nierówność cosx z war. bezwzględną

Post autor: wolder »

Rozwiąż nierówność:

\(\displaystyle{ 2\cos x+|\cos x| \le 1,5}\)

Od razu zaznaczę, że pierwszy raz spotykam się z tego typu zadaniem i odpowiedz na moje pytanie jest raczej wskazaniem prawidłowego postępowania w przykładach tego typu. Szczerze mówiąc, nie mam zielonego pojęcia jak się rozwiązuje tego typu zadania, więc skorzystam z wiadomości które są mi znane. Jeżeli ktoś ma inny sposób, lub uzna mój za nieodpowiedni proszę mnie poprawić.

zaczynamy od rozbicia \(\displaystyle{ \cos x}\) na przypadki

\(\displaystyle{ 1^\circ x<0 \Rightarrow x\in \left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi , \frac{3 \pi }{2} +2k \pi \right) \\
2\cos x-\cos x \le 1,5 \\
\cos x \le \frac{3}{2} \\
x\in \RR}\)


ostateczny wynik to oczywiście część wspólna
\(\displaystyle{ x\in \RR}\)

i
\(\displaystyle{ x\in \left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi , \frac{3 \pi }{2} +2k \pi \right)}\)

więc wynik ostateczny z 1 przedziału:
\(\displaystyle{ x\in \left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi , \frac{3 \pi }{2} +2k \pi \right)}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ x \ge 0 \Rightarrow x\in\left\langle - \frac{ \pi }{2} +2k \pi , \frac{ \pi }{2} +2k \pi \right\rangle \\
2\cos x+\cos x \le 1,5 \\
3\cos x \le \frac{3}{2} \\
\cos x \le \frac{1}{2}}\)


wychodzi
\(\displaystyle{ x\in\left\langle \frac{ \pi }{3} +2k \pi , \frac{5}{3} +2k \pi \right\rangle}\)

część wspólna z przedziałem z 2 przypadku, wychodzi ostatecznie
\(\displaystyle{ \left\langle \frac{ \pi }{3}+2k \pi , \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right\rangle \cup \left\langle \frac{3 \pi }{2}+2k \pi , \frac{5 \pi }{3}+2k \pi \right\rangle}\)


Ostatecznie wychodzi nam suma z 1 i 2 przedziału, czyli:
\(\displaystyle{ \left( \frac{ \pi }{2}+2k \pi , \frac{3 \pi }{2} +2k \pi \right) \cup \left\langle \frac{ \pi }{3}+2k \pi , \frac{ \pi }{2}+2k \pi \right\rangle \cup \left\langle \frac{3 \pi }{2}+2k \pi , \frac{5 \pi }{3}+2k \pi \right\rangle}\)

co daje nam ostateczny wynik:
\(\displaystyle{ x\in \left\langle \frac{ \pi }{3}+2k \pi , \frac{5 \pi }{3} +2k \pi\right\rangle}\)

co też zgadza się z odpowiedziami.

Ktoś może potwierdzić czy taki sposób rozwiązania tego zadania jest poprawny?
Ostatnio zmieniony 12 lis 2016, o 23:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
squared
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1017
Rejestracja: 21 mar 2009, o 11:11
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 167 razy
Pomógł: 152 razy

Nierówność cosx z war. bezwzględną

Post autor: squared »

Jest poprawny. Po prostu rozbijamy zadanie na dwa przypadki:

\(\displaystyle{ (1) \ \ \cos x \geq 0 \\
(2) \ \ \cos x < 0}\)


(tam wkradła się literówka i zamiast napisać np. \(\displaystyle{ \cos x \geq 0}\) masz \(\displaystyle{ x\geq 0}\)). Ale całość dobrze rozwiązana.
kalwi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1931
Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 145 razy
Pomógł: 320 razy

Nierówność cosx z war. bezwzględną

Post autor: kalwi »

Albo można też i tak:

\(\displaystyle{ \left| \cos x \right| \le 1.5-2\cos x \\
\cos^2x \le 2.25-6\cos x+4\cos^2x \\
t=\cos x, \ t\in\left[ -1;1\right] \\
3t^2-6t+2.25 \ge 0 \\
\Delta =36-27=9=3^2 \\
t_1= \frac{1}{6}\left( 6-3\right) = \frac{1}{2} \\
t_2 = \frac{3}{2} \\
3t^2-6t+2.25=3\left( t- \frac{1}{2} \right) \left( t- \frac{3}{2} \right) \ge 0}\)

to drugie jest zawsze mniejsze od \(\displaystyle{ 0}\), więc zostaje
\(\displaystyle{ t-\frac{1}{2}\le 0 \\
\cos x \le \frac{1}{2}}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Nierówność cosx z war. bezwzględną

Post autor: a4karo »

kalwi, Podnoszenie nierówności do kwadratu nie jest dobrym pomysłem, bo może wprowadzić dodatkowe "rozwiązania". Gdyby była pewność, że obie strony są dodatnie to ok, ale tu i tak wynik trzeba sprawdzić.
ODPOWIEDZ