Prosta nierówność trygonometryczna.

[Aneta_97]

Cześć, nie było mnie na zajęciach i nie mam pojęcia jak rozwiązać tę nierówność, w ogóle nierówności:

\(\displaystyle{ \sin (t) + \cos (t) > 0}\)

mógłby ktoś wytłumaczyć krok po kroku na tym przykładzie jak to się robi?

[Lider_M]

Zamień na początku np. \(\displaystyle{ \sin t}\) na cosinusa przy użyciu wzorów redukcyjnych, a następnie skorzystaj ze wzoru na sumę cosinusów.

[Dilectus]

A może tak:

\(\displaystyle{ \sin t+ \cos t>0}\)

Podnieśmy obie strony nierówności do kwadratu:

\(\displaystyle{ \left( \sin t+ \cos t\right)^2 >0}\)

\(\displaystyle{ \sin^2 t + \cos^2t+ 2\sin t \cos t >0}\)

Dalej dasz radę sama?

[Premislav]

Dilectus, to podejście jest tak złe, że aż trudno to wysłowić.
Czy uważa Pan, że z tego, iż \(\displaystyle{ (-1)^2>0}\) wynika, że \(\displaystyle{ -1>0}\)??

-- 7 lis 2016, o 23:57 --

Cały problem w tym, że nierówności możemy przekształcać równoważnie. Podnoszenie stronami do kwadratu (tutaj) nie jest przekształceniem równoważnym. W szczególności każda liczba rzeczywista różna od zera ma kwadrat większy od zera, ale nie każda liczba rzeczywista różna od zera jest większa od zera.

[Dilectus]

Jeśli suma dwóch liczb jest większa od zera, to kwadrat tej sumy też jest większy od zera.

[Aneta_97]

Czyli sposób odpowiedzi proponowany przez Dilectusa jest dobry?

No cóż, nie ukrywam, że nadal mam z tym problem. Wiem z jedynki trygonometrycznej, że

\(\displaystyle{ \sin^2 t + \cos^2t = 1}\)

a z wzorów redukcyjnych

\(\displaystyle{ 2\sin t \cos t = \sin 2t}\)

ale co dalej?

[Dilectus]

Dalej jest tak:

\(\displaystyle{ \sin^2 t + \cos^2t+ 2\sin t \cos t >0}\)

\(\displaystyle{ \sin2t>-1 \ \Rightarrow \ t \neq \frac{3}{4}\pi+k \pi}\)

[kropka+]

Sposób Dilectusa nie jest dobry, poniewaź

\(\displaystyle{ \left( \sin t+ \cos t\right)^2 >0 \Leftrightarrow \sin t +\cos t \neq 0}\)

a nam chodzi o nierówność

\(\displaystyle{ \sin t + \cos t > 0}\)

[Jan Kraszewski]

Jeśli suma dwóch liczb jest większa od zera, to kwadrat tej sumy też jest większy od zera.

Dalej jest tak:

\(\displaystyle{ \sin^2 t + \cos^2t+ 2\sin t \cos t >0}\)

\(\displaystyle{ \sin2t>-1 \ \Rightarrow \ t \neq \frac{3}{4}\pi+k \pi}\)

Przykro mi, ale to rozwiązanie jest do niczego, a zastrzeżenie Premislava jak najbardziej słuszne. Zgodnie z Twoim rozwiązaniem nierówność \(\displaystyle{ \sin t+ \cos t>0}\) powinna być prawdziwa dla \(\displaystyle{ t=\pi}\), czyli "udowodniłeś", że \(\displaystyle{ -1>0}\)...

Pomysł Lidera_M jest chyba najszybszy.

JK

[AiDi]

Jeśli suma dwóch liczb jest większa od zera, to kwadrat tej sumy też jest większy od zera.

Tak, ale nie na odwrót. I w tym jest problem, bo znajdujesz dzięki temu \(\displaystyle{ t}\), dla których kwadrat jest dodatni, ale wyjściowa suma już nie musi być dodatnia.

[Dilectus]

Przykro mi, ale to rozwiązanie jest do niczego

JK

W takim razie odszczekuję: hau, hau.

[kinia7]

\(\displaystyle{ \sin t+\cos t>0\ \Rightarrow \ -\frac14\pi+2k\pi<t<\frac34\pi+2k\pi}\)

[arek1357]

Zamieńcie to na iloczyn a potem zobaczcie kiedy iloczyn dwóch liczb jest większy od zera
Kinia Twoje rozwiązanie dla przeciętnego zjadacza chleba jest całkiem nieoczywiste.

[kinia7]

\(\displaystyle{ \sin t+\cos t=\cos t\left( \tg t+1\right) >0\ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases} \cos t>0\ \wedge\ \tg t>-1\\\ lub\\\cos t<0\ \wedge \ \tg t<-1\end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} -\frac14\pi+2k\pi<t<\frac12\pi+2k\pi \\\ lub\\\frac12\pi+2k\pi<t<\frac34\pi+2k\pi \end{cases}}\)
pozostaje sprawdzić nierówność wyjściową dla \(\displaystyle{ t=\frac12\pi+2k\pi}\)
\(\displaystyle{ \sin\left(\frac12\pi+2k\pi \right) +\cos\left( \frac12\pi+2k\pi\right) =1>0\ \ \Rightarrow \ \ \blue{-\frac14\pi+2k\pi<t<\frac34\pi+2k\pi}}\)

[Jan Kraszewski]

Ja bym wolał

\(\displaystyle{ \sin t+\cos t=\sin t+\sin\left( \frac{\pi}{2} -t\right)=2\sin\frac{t+\frac{\pi}{2} -t}{2}\cos\frac{t-\frac{\pi}{2} +t}{2} =2\sin\frac{\pi}{4}\cos\left( t-\frac{\pi}{4}\right) =\\=\sqrt{2} \cos\left( t-\frac{\pi}{4}\right)}\)

\(\displaystyle{ \cos\left( t-\frac{\pi}{4}\right)>0 \Leftrightarrow -\frac{\pi}{2}+2k\pi< t-\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2k\pi \Leftrightarrow \blue{-\frac14\pi+2k\pi<t<\frac34\pi+2k\pi}}\)

JK