zamiana na funkcje odwrotną

[qqaazzxx]

Witam mam zadanie przedstawić funkcję odwrotną względem funkcji \(\displaystyle{ f \left( x \right) =\frac{\ctg \left( x-\frac{ \pi }{2} \right) }{2}}\) dla \(\displaystyle{ x\in \left( \frac{- \pi }{2},\frac{ \pi }{2} \right)}\) za pomocą funkcji \(\displaystyle{ \arccot}\). Doszedłem do momentu \(\displaystyle{ \arccot y=\arccot \left( \frac{\ctg \left( x+\frac{ \pi }{2} \right) }{2} \right)}\) i nie wiem jak z tego wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\).

[squared]

Najszybciej jest tak. Po pierwsze można sobie uprosić wzór funkcji, tzn.
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{\ctg(x-\frac{ \pi }{2})}{2}=\frac{-\tg x}{2}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ y=\frac{-\tg x}{2} \Rightarrow -2y = \tg x \Rightarrow x= \arctg (-2y)}\)

Nie wiem, skąd wziąłeś \(\displaystyle{ \arcctg y=\arcctg \left(\frac{\ctg(x+\frac{ \pi }{2})}{2}\right)}\). Ale jak już tu chcesz coś robić, to po pierwsze:
\(\displaystyle{ \ctg\left(x+\frac{ \pi }{2}\right)=-\tg x}\).
Zatem: \(\displaystyle{ \arcctg y = \arcctg \left( \frac{-\tg x}{2}\right)}\).
A stąd masz \(\displaystyle{ y=\frac{-\tg x}{2} \Rightarrow x=\arctg (-2y).}\)

[qqaazzxx]

Mam to wyrazić za pomocą funkcji \(\displaystyle{ \arccot}\) ale dzięki już wiem jak, nie pomyślałem żeby pomnożyć razy \(\displaystyle{ 2}\) xD a wzięło mi się to stąd że \(\displaystyle{ x-\frac{ \pi }{2} \in (- \pi ,0)}\) więc \(\displaystyle{ x+\frac{ \pi }{2} \in (0, \pi )}\) czyli odpowiedni przedzial dla \(\displaystyle{ \arccot}\) a że dodaje tylko \(\displaystyle{ \pi}\) to nie zmieniam nic przy ctg.

[squared]

Mając to \(\displaystyle{ y=\frac{-\tg x}{2}}\) łatwo "cofnąć" się do arcus'a tangens'a, bo
\(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2\ctg x} \Rightarrow \ctg x= \frac{-1}{2y} \Rightarrow x= \arcctg \left( \frac{-1}{2y}\right)}\)

[qqaazzxx]

Odpowiedzią poprawną jest \(\displaystyle{ x=\arccot (2y)-\frac{ \pi }{2}}\) i tyle właśnie mi wychodzi. Dziękuję za naprowadzenie do odpowiedzi.