Wyznaczyć dziedzinę funkcji

[Zorex]

Witam
Prosze o pomoc z tym przykładem. Nie chodzi mi o odpowiedz ale rozwiazanie pokolei i z wyjaśnieniem.

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{\arccot x}{1-\arctan ^{2} x}+ \sqrt{1-\log _{8}(x ^{2}-7x) }}\)

Z góry dziękuję

[arek1357]

Trudny przykład ale kto takie zadania zadaje nie ma chyba sumienia.

Mam nadzieję że na tym forum znajdzie się ktoś na poziomie co to roztrzaska...

[vpprof]

Rozumiem, że zgodnie z tematem wątku, mam wyznaczyć dziedzinę a nie podać rozwiązanie równania.

A więc takie zadanka zwykle bazują na fakcie, że zero nie posiada elementu odwrotnego, czyli nie można dzielić przez zero (#1) oraz zakładają, że poruszamy się w \(\displaystyle{ \RR}\) — czyli nie ma pierwiastków z liczb ujemnych (#2). Do tego dochodzi jeszcze fakt, że funkcje mają swoje dziedziny i przeciwdziedziny (#3), na przykład \(\displaystyle{ \arcsin}\) przyjmuje tylko argumenty z zakresu \(\displaystyle{ [-1;1]}\) itd.

No i pod kątem spełnienia tych 3 warunków trzeba nasze wyrażenie przeanalizować.

1. \(\displaystyle{ 1-\arctg^2 x \neq 0}\)
   Stąd \(\displaystyle{ \arctg x \neq 1 \wedge \arctg x \neq -1}\), więc wychodzi nam, że \(\displaystyle{ \boxed{x \neq \pm \tg 1}}\)
2. \(\displaystyle{ 1-\log _{8}(x ^{2}-7x)}\)
   \(\displaystyle{ 1 \ge \log_8 \left( x ^{2}-7x \right)}\)
   \(\displaystyle{ 8^1 \ge x ( x - 8 + 1)}\)
   \(\displaystyle{ x ( x - 8) + (x - 8) \le 0}\)
   Ostatecznie \(\displaystyle{ \boxed{x \in [-1;8]}}\).
3. Wreszcie, \(\displaystyle{ \log}\) o podstawie dodatniej nie przyjmuje wartości ujemnych ani zera, czyli:
   \(\displaystyle{ x(x-7) > 0 \rightarrow \boxed{x \in (- \infty ; 0 ) \cup (7 ; + \infty )}}\)

Zanim połączymy warunki, sprawdźmy ile to mniej więcej jest \(\displaystyle{ \tg 1}\), żeby wiedzieć, czy zawiera się on w zbiorach powstałych z pozostałych dwu warunków. Otóż \(\displaystyle{ \tg \pi/4 \approx \tg 0,8 = 1}\), a z kolei \(\displaystyle{ \tg \pi/3 \approx \tg 1,04 = \sqrt{3} \approx 1,73}\), czyli poszukiwana wartość będzie się zawierała gdzieś pomiędzy tymi dwiema. Łączymy warunki ze sobą za pomocą koniunkcji (czyli części wspólnej zbiorów) i wychodzi \(\displaystyle{ x \in [-1 ; 0) \cup (7 ; 8]}\).

Powodzenia

EDIT: Na wykresie WolframAlpha przepięknie widać tę naszą dziedzinę (tam, gdzie część urojona = 0)