Tożsamość trygonometryczna

[damianb543]

1.Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} \cdot \frac{\cos x}{1+\cos x}=\tg \frac{1}{2}x}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ L= \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} \frac{\cos x}{1+\cos x}= \frac{2\sin x \cos x}{1+\cos^2 x-\sin^2 x} \frac{\cos x}{1+\cos x}= \frac{2\tg x}{1+ \frac{1}{\cos^2 x} -\tg^2 x} \frac{\cos x}{1+\cos x}=\\= \frac{\tg x \cos x}{1+\cos x}= \frac{\sin x}{1+\cos x}= \frac{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}{1+\cos^2\frac x 2-\sin^2 \frac x 2}= \frac{2\tg \frac x 2 }{1+\frac{1}{\cos^2 \frac x 2}-\tg^2 \frac x 2}=P}\)
Wykorzystane wzory: cosinus podwojonego kąta, sinus podwojonego kąta,
tożsamość \(\displaystyle{ 1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2x}}\), no i \(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}}\)

[damianb543]

\(\displaystyle{ L= \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} \frac{\cos x}{1+\cos x}= \frac{2\sin x \cos x}{1+\cos ^2 x-\sin ^2 x} \frac{\cos x}{1+\cos x}= \frac{2\tg x}{1+ \frac{1}{\cos ^2 x} -\tg ^2 x} \frac{\cos x}{1+\cos x}=\\= \frac{\tg x \cos x}{1+\cos x}= \frac{\sin x}{1+\cos x}= \frac{2\sin \frac x 2 \cos \frac x 2}{1+\cos ^2\frac x 2-\sin ^2 \frac x 2}= \frac{2\tg \frac x 2 }{1+\frac{1}{\cos ^2 \frac x 2}-\tg ^2 \frac x 2}=P}\)
Wykorzystane wzory: cosinus podwojonego kąta, sinus podwojonego kąta,
tożsamość \(\displaystyle{ 1+\tg ^2 x=\frac{1}{\cos ^2x}}\), no i \(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}}\)

Co zrobiłeś że tam się pojawił \(\displaystyle{ 2\tg x}\) a na dole \(\displaystyle{ 1+\frac{1}{\cos ^{2}x}-\tg ^{2}x}\)?

[Premislav]

Podzieliłem licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos^2 x}\). Oczywiście może należałoby jeszcze wspomnieć o dziedzinie, ale przy zadaniach typu "wykaż, że" często jest pomijana.

[damianb543]

Podzieliłem licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos ^2 x}\). Oczywiście może należałoby jeszcze wspomnieć o dziedzinie, ale przy zadaniach typu "wykaż, że" często jest pomijana.

Ale \(\displaystyle{ \tg x= \frac{2\tg \frac{x}{2} }{1-\tg ^{2}x }}\)
Tutaj jest \(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2}}\)

Dobra już wiem,nie zauważyłem. Mój błąd.

[Premislav]

Po prostu czegoś chyba nie załapałeś, uzasadnię bardziej szczegółowo.
\(\displaystyle{ \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}= \frac{2\sin x \cos x}{1+\cos^2 x-\sin^2 x}}\),
bo w liczniku zastosowałem wzór na sinus podwojonego kąta, a w mianowniku - wzór na cosinus podwojonego kąta.
\(\displaystyle{ \frac{2\sin x \cos x}{1+\cos^2 x-\sin^2 x}= \frac{2\tg x}{ \frac{1}{\cos^2 x}+1-\tg^2 x }}\)
- podzieliłem licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \cos^2 x}\).
\(\displaystyle{ \frac{2\tg x}{ \frac{1}{\cos^2 x}+1-\tg^2 x } \frac{\cos x}{1+\cos x}= \frac{\sin x}{1+\cos x}}\):
ponieważ \(\displaystyle{ 1+\tg^2 x= \frac{1}{\cos^2 x}}\), to
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2 x}+1-\tg^2 x=1+\tg^2 x+1-\tg^2 x=2}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \tg x \cos x=\sin x}\)
Jeśli dalej nie rozumiesz, to trudno, może już tak miało być.

[a4karo]

To się tak ładnie teleskopuje:

\(\displaystyle{ (*)\quad\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{1+\cos^2x-\sin^2 x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x}=\tg x}\)

Zatem (zastępując \(\displaystyle{ x}\) przez \(\displaystyle{ x/2}\) )mamy
\(\displaystyle{ (**)\quad \frac{\sin x}{1+\cos x}=\tg \frac{x}{2}}\)

Ale
\(\displaystyle{ \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}\frac{\cos x}{1+\cos x}=(*)\tg x\frac{\cos x}{1+\cos x}=(**)}\)

[damianb543]

\(\displaystyle{ L= \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} \frac{\cos x}{1+\cos x}= \frac{2\sin x \cos x}{1+\cos^2 x-\sin^2 x} \frac{\cos x}{1+\cos x}= \frac{2\tg x}{1+ \frac{1}{\cos^2 x} -\tg^2 x} \frac{\cos x}{1+\cos x}=\\= \frac{\tg x \cos x}{1+\cos x}= \frac{\sin x}{1+\cos x}= \frac{2\sin\frac x 2 \cos \frac x 2}{1+\cos^2\frac x 2-\sin^2 \frac x 2}= \frac{2\tg \frac x 2 }{1+\frac{1}{\cos^2 \frac x 2}-\tg^2 \frac x 2}=P}\)
Wykorzystane wzory: cosinus podwojonego kąta, sinus podwojonego kąta,
tożsamość \(\displaystyle{ 1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2x}}\), no i \(\displaystyle{ \tg x=\frac{\sin x}{\cos x}}\)

Możesz mi powiedzieć jak dochodzisz do wniosku że twój wynik jest równy \(\displaystyle{ \tg \frac{x}{2}}\)
z tego co wiem \(\displaystyle{ \tg 2x= \frac{2\tg x}{1-\tg ^{2} x }}\)

[Premislav]

Jak dochodzę do wniosku, to powinno być widoczne z tego ciągu przekształceń. Może za mało rozpisałem ostatnią równość.
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x}\), to \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{\cos^2 \frac x 2}-\tg^2\frac x 2=2}\), no i mamy \(\displaystyle{ \frac{2\tg \frac x 2 }{1+\frac{1}{\cos^2 \frac x 2}-\tg^2 \frac x 2} =\frac{2\tg \frac x 2}{2}=\tg \frac x 2}\)

[damianb543]

Jak dochodzę do wniosku, to powinno być widoczne z tego ciągu przekształceń. Może za mało rozpisałem ostatnią równość.
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x}\), to \(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{\cos^2 \frac x 2}-\tg^2\frac x 2=2}\), no i mamy \(\displaystyle{ \frac{2\tg \frac x 2 }{1+\frac{1}{\cos^2 \frac x 2}-\tg^2 \frac x 2} =\frac{2\tg \frac x 2}{2}=\tg \frac x 2}\)

Tylko jak dojsc ze trzeba podzielic przez \(\displaystyle{ \cos ^{2} x}\) bo tak to można godzinami to rozwiązywac

[Premislav]

Niestety nie wiem. Jak się przerobi trochę zadań, to się widzi takie rzeczy, innej recepty nie mam.