Równania trygonometryczne

[Dominik J]

Rozwiązać równania

a) \(\displaystyle{ \cos^2{x} + 4\cos x \sin x + 3\sin^2x = 0}\)
b) \(\displaystyle{ 2\sin^3x - 3\sin x \cos x = 0}\)
c) \(\displaystyle{ 2 \sin x \ctg x -3+2 \sqrt{3} \sin{x} = \sqrt{3} \ctg{x}}\)

Bardzo proszę o pomoc.

[Yelon]

Pewnie są jakieś sprytne przekształcenia, natomiast póki co ich nie widzę, więc robię normalnie.

a) jest równoważne temu: \(\displaystyle{ 2\sin^{2} x + 4(\sqrt{1-\sin^{2} x})\sin x +1=0}\). Teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin x}\). Daje nam to \(\displaystyle{ \sqrt{1-t^{2}}=\frac{-(1+2t^{2})}{4t}}\). Całość do kwadratu, potem dwa przypadki dla modułu i powoli do przodu

[Dominik J]

Dzięki

[Premislav]

a) można też sprawdzić \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2}+k \pi}\) (wtedy równość nie zachodzi), a potem podzielić stronami przez \(\displaystyle{ \cos^2 x}\) i podstawić \(\displaystyle{ t=\tg x}\) - mamy równanie kwadratowe;
b) wyłącz przed nawias po lewej stronie \(\displaystyle{ \sin x}\) i przyrównaj oddzielnie czynniki do zera.
\(\displaystyle{ 2\sin^2 x-3\cos x=2(1-\cos^2 x)-3\cos x}\), podstawienie \(\displaystyle{ t=\cos x}\) i tu znowu masz równanie kwadratowe (tylko pamiętaj o powrocie do wyjściowej zmiennej).
c) nie umiem. Zacząłbym od dziedziny, potem pomnożyłbym stronami przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i rozpisał
\(\displaystyle{ \ctg x= \frac{\cos x}{\sin x}}\), ale nie wiem, czy coś z tego będzie.

[Lider_M]

Pewnie są jakieś sprytne przekształcenia, natomiast póki co ich nie widzę, więc robię normalnie.

a) jest równoważne temu: \(\displaystyle{ 2\sin^{2} x + 4(\sqrt{1-\sin^{2} x})\sin x +1=0}\). Teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=\sin x}\). Daje nam to \(\displaystyle{ \sqrt{1-t^{2}}=\frac{-(1+2t^{2})}{4t}}\). Całość do kwadratu, potem dwa przypadki dla modułu i powoli do przodu

Nie zawsze zachodzi \(\displaystyle{ \cos x=\sqrt{1-\sin^2x}}\).

c) grupowanie wyrazów.

[a4karo]

a) \(\displaystyle{ 0=\cos^2x+4\sin x\cos x+3\sin^2x=1+2\sin 2x+2\sin^2=2+2\sin 2x-\cos 2x}\)

dalej powinno iść prosto