Rozwiąż równania:

[damianb543]

1. \(\displaystyle{ \sin ^{2}x-\sin x\cos x-2\cos ^{2}x=0}\)

2. \(\displaystyle{ \cos ^{2}x+4\cos x\sin x+3\sin ^{2}x=0}\)

[Premislav]

1. Jeżeli \(\displaystyle{ \cos x=0}\), tj. \(\displaystyle{ x=\frac \pi 2+k\pi, k \in \ZZ}\), to równość nie zachodzi, bo dostajemy \(\displaystyle{ 1=0}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \neq \frac \pi 2+k\pi, k \in \ZZ}\)
i podzielmy równanie stronami przez \(\displaystyle{ \cos^2 x}\).
Dalej podstaw \(\displaystyle{ t=\tg x}\) i masz równanie kwadratowe.
2. to nie jest równanie.

[damianb543]

1. Jeżeli \(\displaystyle{ \cos x=0}\), tj. \(\displaystyle{ x=\frac \pi 2+k\pi, k \in \ZZ}\), to równość nie zachodzi, bo dostajemy \(\displaystyle{ 1=0}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ x \neq \frac \pi 2+k\pi, k \in \ZZ}\)
i podzielmy równanie stronami przez \(\displaystyle{ \cos^2 x}\).
Dalej podstaw \(\displaystyle{ t=\tg x}\) i masz równanie kwadratowe.
2. to nie jest równanie.

Już jest.

[Premislav]

OK, więc drugie można rozwiązać tak samo, jak pierwsze. Patrzysz, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ \cos x=0}\) (nie będzie wtedy równości), a dalej rozważając przypadki gdy gdy \(\displaystyle{ \cos x\neq 0}\) (tj. \(\displaystyle{ x \neq \frac \pi 2 +k \pi}\)), dzielisz równanie stronami przez \(\displaystyle{ \cos^2x}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ t=\tg x}\). Znowu masz równanie kwadratowe, rozwiąż je i pamiętaj o powrocie do pierwotnej zmiennej.

[damianb543]

OK, więc drugie można rozwiązać tak samo, jak pierwsze. Patrzysz, co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ \cos x=0}\) (nie będzie wtedy równości), a dalej rozważając przypadki gdy gdy \(\displaystyle{ \cos x\neq 0}\) (tj. \(\displaystyle{ x \neq \frac \pi 2 +k \pi}\)), dzielisz równanie stronami przez \(\displaystyle{ \cos ^2x}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ t=\tg x}\). Znowu masz równanie kwadratowe, rozwiąż je i pamiętaj o powrocie do pierwotnej zmiennej.

Równie dobrze moge sprawdzić co się dzieje dla \(\displaystyle{ \sin x=0}\)
Jeśli mi wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+k \pi}\) a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{4}+k \pi}\) to jest to samo?

[Premislav]

Oczywiście. Tylko wtedy dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ \sin^2 x}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ t=\ctg x}\).

Pewnie można jakoś inaczej, ale nie chce mi się nad tym myśleć.-- 16 paź 2016, o 12:51 --

Jeśli mi wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{4}+k \pi}\) a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{4}+k \pi}\) to jest to samo?

Niestety nie. Pokaż, jak liczyłeś.

[damianb543]

Oczywiście. Tylko wtedy dzielisz stronami przez \(\displaystyle{ \sin^2 x}\) i podstawiasz \(\displaystyle{ t=\ctg x}\).

Pewnie można jakoś inaczej, ale nie chce mi się nad tym myśleć.

-- 16 paź 2016, o 12:51 --

Jeśli mi wyszło \(\displaystyle{ x= \frac{ -\pi }{4}+k \pi}\) a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{4}+k \pi}\) to jest to samo?

Niestety nie. Pokaż, jak liczyłeś.

Zapomniałem minusa teraz się zgadza?

[Premislav]

Tak, to jest to samo.

[damianb543]

Tak, to jest to samo.

A da się to drugie rozwiąząc bez dzielenia tylko wyłączając przed nawias?

[Premislav]

Owszem, da się.
\(\displaystyle{ \cos ^{2}x+4\cos x\sin x+3\sin ^{2}x=0\\ \cos^2 x+\cos x \sin x+3\cos x \sin x+3\sin^2 x=0\\\cos x(\cos x+\sin x)+3\sin x(\cos x+\sin x)=0\\(\cos x+\sin x)(\cos x+3\sin x)=0}\)
i dalej przyrównujesz oba czynniki oddzielnie do \(\displaystyle{ 0}\).
Wsk. \(\displaystyle{ \cos x=\sin\left( \frac \pi 2-x\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \sin x=-\sin(-x)}\) i dalej masz równanie \(\displaystyle{ \sin\left( \frac \pi 2-x\right)=\sin(-x)}\). Można też zamiast takiego podejścia wykazać, że \(\displaystyle{ \cos x+\sin x=\sqrt{2}\cos\left( x-\frac \pi 4\right)}\)
Trochę gorzej z tym drugim czynnikiem;
ja bym napisał, że \(\displaystyle{ \cos x+3\sin x= \sqrt{10}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\cos x+ \frac{3}{\sqrt{10}}\sin x\right) =\sqrt{10}\sin \left( x+\arctan 3\right)}\)
i to przyrównywał do zera, ale to jakaś masakra nad Wounded Knee.