Przedstaw podane wyrażenie w postaci iloczynu:

[damianb543]

1.Przedstaw podane wyrażenie w postaci iloczynu:
\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x+\tg x}\)

2. Udowodnij że :
\(\displaystyle{ \cos \frac{ \pi }{5} \cdot \cos \frac{ 3\pi }{5}=- \frac{1}{4}}\)

3. Rozwiąż równania:
a) \(\displaystyle{ \ctg \left( \left| 2x\right| \right) =1}\)
b)\(\displaystyle{ 2\cos \left( \left| \frac{x}{3} \right| \right) = -1}\)

4. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \left( \cos x-\cos y \right) ^{2} + \left( \sin x-\sin y \right) ^{2}=4\sin ^{2} \frac{x-y}{2}}\)

Proszę o dokładne obliczenia i wyłumaczenie.

[kerajs]

1.Przedstaw podane wyrażenie w postaci iloczynu:
\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x+\tg x=1+\tg x \cos x+\cos x+\tg x=.....}\)

2.
\(\displaystyle{ L=\cos \frac{ \pi }{5} \cdot \cos \frac{ 3\pi }{5}= \frac{2\sin \frac{ \pi }{5} }{2\sin \frac{ \pi }{5} } \cos \frac{ \pi }{5} \cdot \cos \frac{ 3\pi }{5}=\frac{1 }{2\sin \frac{ \pi }{5} } \sin \frac{ 2\pi }{5} \cdot \cos (\pi-\frac{ 2\pi }{5})=\\=\frac{2 }{4\sin \frac{ \pi }{5} } \sin \frac{ 2\pi }{5} \cdot (-\cos \frac{ 2\pi }{5})=\frac{-1 }{4\sin \frac{ \pi }{5} } \sin \frac{ 4\pi }{5} =\frac{-1 }{4\sin \frac{ \pi }{5} } \sin (\pi-\frac{ \pi }{5}) =\frac{-1 }{4\sin \frac{ \pi }{5} } \sin \frac{\pi }{5} =\\=\frac{-1 }{4}=P}\)

3. Rozwiąż równania:
a) \(\displaystyle{ \ctg \left( \left| 2x\right| \right) =1}\)
\(\displaystyle{ t=\left| 2x\right|}\)
......
b)\(\displaystyle{ 2\cos \left( \left| \frac{x}{3} \right| \right) = -1}\)
\(\displaystyle{ t=\left| \frac{x}{3}\right|}\)
......
4. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \left( \cos x-\cos y \right) ^{2} + \left( \sin x-\sin y \right) ^{2}=4\sin ^{2} \frac{x-y}{2}}\)
\(\displaystyle{ P=4\sin ^{2} \frac{x-y}{2}=4(\sin \frac{x}{2}\cos \frac{y}{2}-\sin \frac{y}{2}\cos \frac{x}{2} )^2=4\sin^2 \frac{x}{2}\cos^2 \frac{y}{2}-8\sin \frac{x}{2}\cos \frac{y}{2}\sin \frac{y}{2}\cos \frac{x}{2}+\\+4 \sin^2 \frac{y}{2}\cos^2 \frac{x}{2}=(1-\cos x)(\cos y+1)-2\sin x\sin y+(1-\cos y)(\cos x+1)= .....}\)

[damianb543]

Jeśli chodzi o równania trygonometryczne to \(\displaystyle{ x _{0}}\) w przypadku \(\displaystyle{ \tg}\) bierze sie z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \ctg \left(0, \pi \right) \\
\sin \left( \frac{- \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right) \\
\cos \left( \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\)

Tak?

-- 15 paź 2016, o 15:13 --

Jeszcze jedno zadanie:
Zamień sumęna iloczyn:\(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x+ \sqrt{3}\sin 2x-1}\)

[Jan Kraszewski]

Jeśli chodzi o równania trygonometryczne to \(\displaystyle{ x _{0}}\) w przypadku \(\displaystyle{ \tg}\) bierze sie z przedziału \(\displaystyle{ \left( - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ \ctg \left(0, \pi \right) \\
\sin \left( \frac{- \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right) \\
\cos \left( \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right)}\)

Tak?

Tangens, cotangens - tak, sinus, cosinus - nie. Okres sinusa i cosinusa wynosi \(\displaystyle{ 2\pi}\), więc taką długość musi mieć bazowy przedział (no i zapomniałeś o końcu przedziału).

JK

[kerajs]

\(\displaystyle{ 2\sin ^{2}x+ \sqrt{3}\sin 2x-1= \sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x- \frac{1}{2} \cos 2x\right)=\\=2\left( \cos \frac{\pi}{6}\sin 2x- \sin\frac{\pi}{6} \cos 2x\right)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6} \right)}\)

Tangens, cotangens - tak, sinus, cosinus - nie.

Dlaczego dla sinusa nie?
Jedno rozwiązanie na pewno jest w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle \frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right\rangle}\)


Dla kosinusa najlepiej \(\displaystyle{ x_0}\) brać z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)

[Premislav]

Zawsze mnie pasjonują zadania z poleceniem "przedstaw w postaci iloczynu". A co powiecie na taki iloczyn:
\(\displaystyle{ 1+\sin x+\cos x+\tg x=1\cdot (1+\sin x+\cos x+\tg x)}\)

Zadanie 4. - alternatywne podejście:
ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in \RR}\) i rozpatrzmy funkcję
\(\displaystyle{ f(x)=(\cos x-\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2-4\sin^2 \frac{x-y}{2}}\).
Wówczas \(\displaystyle{ f'(x)=-2\sin x(\cos x-\cos y)+2\cos x(\sin x-\sin y)-2\sin(x-y)}\).
Ponieważ ze wzoru na sinus różnicy wynika, że
\(\displaystyle{ 2\sin(x-y)=2\sin x\cos y-2\cos x\sin y}\),
to natychmiast otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f'(x)\equiv 0}\), zatem \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą ze względu na \(\displaystyle{ x}\). Ponadto \(\displaystyle{ f(y)=0}\), więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=0}\),
a to jest równoważne równości
\(\displaystyle{ (\cos x-\cos y)^2+(\sin x-\sin y)^2=4\sin^2 \frac{x-y}{2}}\),
c.k.d.

[Jan Kraszewski]

Dlaczego dla sinusa nie?
Jedno rozwiązanie na pewno jest w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle \frac{-\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right\rangle}\)

Dla kosinusa najlepiej \(\displaystyle{ x_0}\) brać z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)

To zależy, jak rozumiemy pytanie - czy chodzi nam tylko o jakieś rozwiązanie, czy o wszystkie rozwiązania. Zestawienie tangensa/cotantgensa z sinusem/cosinusem w taki sposób, jak robi to damianb543 sugeruje, że może on nie widzieć pomiędzy tymi funkcjami różnicy.

JK

[damianb543]

Mogłby ktos rozpisac 3 zadanie oba przykłady bo w odpoweidziach wychodzi dla k naturalnych

[Jan Kraszewski]

A może sam spróbujesz to rozwiązać? Wskazówki masz.

JK

[damianb543]

A może sam spróbujesz to rozwiązać? Wskazówki masz.

JK

Rozwiązałem, zgadza się z odpowiedzią tylko jest dla \(\displaystyle{ k \in N}\) w przykładzie a, w b dla \(\displaystyle{ k \in C}\), więc nie wiem dlaczego.

[Jan Kraszewski]

Pokaż rozwiązanie.

JK