Strona 1 z 1
nierównosc
: 8 wrz 2007, o 12:04
autor: robin5hood
rozwiązac nierównosc
\(\displaystyle{ sin(lnx)+cos(lnx)>-1,5}\)
nierównosc
: 8 wrz 2007, o 14:33
autor: Lider_M
Podstaw najpierw \(\displaystyle{ \ln x=t}\), zamień np. cosinus na sinus ze wzorów redukcyjnych i zastosuj wzór na sumę sinusów.
nierównosc
: 8 wrz 2007, o 14:35
autor: robin5hood
mozesz to rozwiazac do konca bo ja probuje i nic
nierównosc
: 8 wrz 2007, o 14:47
autor: Lider_M
założenie \(\displaystyle{ x>0}\), dalej:
\(\displaystyle{ \sin t+\cos t>-\frac{3}{2} \\
\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)+\cos t>-\frac{3}{2} \\
2\cos\frac{\pi}{4}\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)>-\frac{3}{2} \\
\cos\left(t-\frac{\pi}{4}\right)>-\frac{3}{2\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{2}}{4}}\)
Teraz posługujemy sie troche wykresem, i dalej mamy:
\(\displaystyle{ t-\frac{\pi}{4}\in\left(-\arccos\frac{-3\sqrt{2}}{4}+2k\pi;\arccos\frac{-3\sqrt{2}}{4}+2k\pi\right)}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\), no i dalej już tylko \(\displaystyle{ x}\)wyznaczyć.
nierównosc
: 8 wrz 2007, o 17:07
autor: max
Warto byłoby po drodze zauważyć, że:
\(\displaystyle{ -\frac{3\sqrt{2}}{4} < -1}\)
nierównosc
: 8 wrz 2007, o 17:10
autor: robin5hood
i jaki z tego wniosek?
nierównosc
: 8 wrz 2007, o 17:17
autor: max
Badana nierówność zajdzie dla każdego \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\), bo dla każdego \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) jest przecież:
\(\displaystyle{ \cos (t - \tfrac{\pi}{4}) \geqslant -1 > -\tfrac{3\sqrt{2}}{4}}\)
Stąd \(\displaystyle{ x\in (0, +\infty)}\).