Rozwiąż równanie - sin,log

[Janpostal]

Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ \cos(\log_{3}{ x^{2} }) - 3\cos(\log_{3}{x})=1}\)
Doszedłem do tej postaci, w tym momencie utknąłem. Chciałem spróbować to rozpatrzyć na dwa przypadki, kiedy jeden z tych cosinusów jest równy 1 a drugi zero, jednak dochodzę do sprzeczności, a wolfram pokazuje jakieś rozwiązania. Może moja metoda jest błędna, co poradzicie, jakaś podpowiedź?

[mortan517]

Może podstawienie \(\displaystyle{ t=\log_3 x}\) i w pierwszym nawiasie wyciągnij potęgę przed logarytm.

[kalwi]

\(\displaystyle{ \log_3x=\alpha}\)

wtedy

\(\displaystyle{ \cos\left( 2\alpha\right) -3\cos\left( \alpha\right) =1 \\2\cos^2\alpha-1-3\cos\alpha=1}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha = t}\)

\(\displaystyle{ 2t^2-3t-2=(2t+1)(t-2)=0}\)

Więc

\(\displaystyle{ t=- \frac{1}{2} \vee t=2}\)

to drugie odrzucamy

\(\displaystyle{ \cos\alpha = -\frac{1}{2}}\)

Więc

\(\displaystyle{ \alpha=\log_3x=- \frac{1}{2} \\
-2\log_3x=1 \\
\log_3 \frac{1}{x^2}=1 \\
x= \frac{1}{\sqrt3}}\)

Drugi przypadek \(\displaystyle{ x= -\frac{1}{\sqrt3}}\) również odrzucamy

[Janpostal]

Dzięki, działa bardzo dobrze, później się podstawia jeszcze za cosinusa. Ale wyniki to koszmar.-- 7 paź 2016, o 18:57 --kalwi,

to drugie odrzucamy

\(\displaystyle{ \cos\alpha = -\frac{1}{2}

Więc

\alpha=\log_3x=- \frac{1}{2} \\
-2\log_3x=1 \\
\log_3 \frac{1}{x^2}=1 \\
x= \frac{1}{\sqrt3}}\)

Nie rozumiem, dlaczego jak stwierdziłeś że cosinus jest równy czemuś, to \(\displaystyle{ \alpha}\) jest tyle samo równe.

[kalwi]

Ups, mój błąd. Tam powinno być oczywiście taka wartość, dla której cosinus jest równy \(\displaystyle{ \frac{-1}{2}}\). Masz rację. Sorry