Uzasadnij nierówność

pardowicz · Post autor: **pardowicz** » 24 wrz 2016, o 16:06

Cześć,

bardzo proszę o pomoc w uzasadnieniu nierówności:

\(\displaystyle{ \left| i\cos (z)\right| \le 1}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 24 wrz 2016, o 16:10

Nie da się jej uzasadnić, bo nie jest prawdziwa

pardowicz · Post autor: **pardowicz** » 24 wrz 2016, o 16:16

a4karo pisze:Nie da się jej uzasadnić, bo nie jest prawdziwa

a jak uzasadnić, że nie jest prawdziwa?

Zaratustra · Post autor: **Zaratustra** » 24 wrz 2016, o 16:26

Znaleźć kontrprzykład?

NogaWeza · Post autor: **NogaWeza** » 24 wrz 2016, o 16:29

Można pokazać, że cosinus jest nieograniczony w dziedzinie zespolonej. On się tam ładnie rozwija w szereg na całej płaszczyźnie, czyli jest analityczny i bynajmniej nie stały, więc rozwiązanie daje natychmiast twierdzenie Liouville'a.

Można jednak inaczej - znasz taką definicję cosinusa? \(\displaystyle{ \cos{z} := \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}}\). Można wstawić tam \(\displaystyle{ z = x + yi}\) i dostać,
że \(\displaystyle{ \cos{z} = \cos{x} \cosh{y} - i \sin{x} \sinh{y}}\), wziąć z tego moduł i jakoś wykazać, że może on mieć wartości większe od \(\displaystyle{ 1}\). W szczególności wystarczy podać jedną parę \(\displaystyle{ (x,y)}\), dla których nierówność nie zajdzie.