Wyjaśnienie wątpliwości dotyczącej znaku.

[GluEEE]

Obliczyć \(\displaystyle{ \sin{x} \cdot \cos{x}}\), jeśli \(\displaystyle{ \sin{x} + \cos{x} = \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Podnoszę drugie do kwadratu i otrzymuję \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)

I teraz moje pytanie: czy podniesienie do kwadratu czasem nie może wygenerować tutaj dodatkowych rozwiązań? Czy muszę jakoś to uzasadniać?

Dziękuję i pozdrawiam.

[Benny01]

\(\displaystyle{ \sin ^2+\cos ^2x=1 \\
\sin ^2x+\cos ^2x +2\cos x \sin x=1+ 2\cos x \sin x \\
(\sin x+\cos x)^2-1=2\cos x \sin x \\
\cos x \sin x= \frac {-1}{4}}\)

[GluEEE]

Ok, dziękuję.
Czy podniesienie bezpośrednio do kwadratu jest błędem?

[Benny01]

W tym wypadku nie, ale jak jest to możliwe to najlepiej tego unikać

[Premislav]

To zależy od treści zadania. Już tłumaczę, o co chodzi:
w zadaniu, które zamieściłeś interesuje Cię wartość tego iloczynu \(\displaystyle{ \sin x \cos x}\), a implikacja
\(\displaystyle{ \sin{x} + \cos{x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\sin(x)+\cos(x))^2= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}\)
jest prawdziwa.
Natomiast gdybyś chciał np. rozwiązywać równanie
\(\displaystyle{ \sin{x} + \cos{x} = \frac{1}{\sqrt{2}}}\), to aby podnieść stronami do kwadratu, musiałbyś najpierw ograniczyć rozważania do zbioru takich \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ \cos x+\sin x>0}\), bo implikacja w drugą stronę:
\(\displaystyle{ (\sin(x)+\cos(x))^2= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 \Rightarrow \sin{x} + \cos{x} = \frac{1}{\sqrt{2}}}\) jest fałszywa:
równie dobrze może przecież być \(\displaystyle{ \sin(x)+\cos(x)=- \frac{1}{\sqrt{2}}}\)!