parametr x i trygonometria

[aolo23]

Wyznacz wszsytkie wartości \(\displaystyle{ x}\) należące do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0;2 \pi \right\rangle}\), dla których liczby\(\displaystyle{ \cos ^2x,\cos ^2x+2\sin ^2x}\), w podanej kolejności są pierwszym i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, w którym suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(\displaystyle{ 5}\).
chciałbym się upewnić (gdyż nie ma do tego odpowiedzi) czy poprawna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{4} , \frac{3 \pi }{4} , \frac{ 5\pi }{4} , \frac{ 7\pi }{4} \right\}}\)

[Benny01]

Wydaje się być ok

[aolo23]

Trochę będę podpinał ten temat bo zamierzam ruszyć tych trochę zadanek
zatem:
1)zad41 \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha = \frac{5 \sqrt{17} }{17}}\)?
2)zad 46 wychodzi mi funkcja:
\(\displaystyle{ f(x)=2\sin (x+ \frac{ \pi }{6})}\) zatem \(\displaystyle{ x \in \left\langle -2,2\right\rangle}\)?
3)zad 48
\(\displaystyle{ \sin ^3x+\cos ^3x=(\sin x+\cos x)(\sin ^2+\cos ^2x-\sin x \cdot \cos x)}\)
z równania
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x= \frac{3}{4}/^2}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x \cdot \cos x= \frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x= \frac{5}{8}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \sin ^3x+\cos ^3x= \frac{3}{4}(1- \frac{5}{8})= \frac{9}{32}}\)

[Benny01]

41) Źle, pokaż rozwiązanie
46) nie \(\displaystyle{ x}\), a \(\displaystyle{ y}\)
48) Popatrz jak podniosłeś prawą stronę do kwadratu, dostałbyś \(\displaystyle{ \sin 2x= \frac{5}{4}>1}\)

[AiDi]

aolo23, przepisz proszę treści zadania w pierwszym poście.

[aolo23]

Zad 41
Sinus pewnego kąta ostrego \(\displaystyle{ \alpha}\), liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\),oraz cosinus tego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.Oblicz sumę \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha}\)
z własności c.geom
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{4\cos \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{1}{4\cos \alpha }}\)
z 1 tryg
\(\displaystyle{ \frac{1}{16\cos ^2 \alpha } +\cos ^2 \alpha =1 / \cdot (16\cos ^2 \alpha)}\)

\(\displaystyle{ 16\cos ^4 \alpha -16\cos ^2 \alpha +1=0}\)

\(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha =p \Rightarrow p \in \left\langle 0,1\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ 16p^2-16p+1=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=192 \Rightarrow \sqrt{\Delta} =8 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ p_{1}= \frac{2- \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ p_{2}= \frac{2+ \sqrt{3} }{4}}\)

a dalej mi głupoty wychodzą

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{4\cos \alpha }}\)

Nie wiem, czy to nie literówka, ale powinno być:
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \cos \alpha=\frac 1 4}\)
Poza tym obliczenia wyglądają na poprawne, ale dużo łatwiej byłoby zauważyć, że
\(\displaystyle{ (\cos \alpha+\sin \alpha)^2=\cos^2 \alpha+2\sin \alpha \cos \alpha+\sin^2 \alpha=1+2 \cdot \frac 1 4}\)
- z jedynki trygonometrycznej i zależności, którą napisałeś.

[aolo23]

No dobrze ale trzeba obliczyć sumę \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alph}\) a a nie kwadrat tej sumy bo się pojawia zupełne inne rozwiążanie

[Premislav]

Ale przecież co to za wielka różnica? Chciałem, żebyś sam coś zrobił, chociaż coś spierwiastkował.
Skoro kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest ostry, to zarówno sinus jak i cosinus są dodatnie, więc tym bardziej suma.

[aolo23]

Rozumiem i nie rozumiem wiem że jeśli się spierwiastkuje sam wynik to rzeczywiście wyjdzie na sume, aczkolwiek pierwiastkowanie samego wyniku wg. mnie jest błędem
Bo ja to widzę jako kwadrat sumy z której ze wzorów na skrócone mnożenie powstają 3 składniki, więc to nie jest to samo jeżeliby wyliczyć samego wpierw cos i sin i następnie je dodać

[kalwi]

więc to nie jest to samo jeżeliby wyliczyć samego wpierw cos i sin i następnie je dodać

Jest to dokładnie to samo, tylko inną drogą zrobioną (prostszą).

\(\displaystyle{ (5+2)^2=5^2+2\cdot2\cdot5+2^2=25+20+4=49=7^2 \rightarrow 5+2=7}\)

[aolo23]

Zad 26.
Oblicz bez użycia tablic:
a) \(\displaystyle{ \frac{\cos70 \cdot \cos10+\cos80 \cdot \cos20}{\cos69 \cdot \cos9+\cos81 \cdot \cos21}}\)

b) \(\displaystyle{ 8 \cdot \cos20 \cdot \cos40 \cdot \cos80}\)

Wkurzają mnie te zadania bo wiem że łatwe, ale wiem że zapomniałem jak to się robiło.

[Premislav]

a) licznik i mianownik: skorzystaj z \(\displaystyle{ \cos \alpha=\sin\left( 90-\alpha\right)}\)
(to oczywiście w stopniach) - w ten sposób zmień po jednym z iloczynów
(dostaniesz np. w liczniku \(\displaystyle{ \cos 70^{\circ} \cos 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}\sin70^{\circ}}\)).
Następnie zauważ tu wzór na cosinus różnicy:
\(\displaystyle{ \cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta}\)

-- 31 sie 2016, o 10:59 --

b) pomnóż i podziel przez \(\displaystyle{ \sin 20^{\circ}}\) i trzy razy skorzystaj w liczniku otrzymanego wyrażenia ze wzoru na sinus podwojonego kąta.
Następnie wykorzystaj równość \(\displaystyle{ \sin \alpha=\sin(180-\alpha)}\) - znowu w stopniach.