Równanie trygonometryczne, PW

[Rafal411]

Finał konkursu PW 2015/16
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ 8 \cdot \cos (x) \cdot ( \cos ^{4}(2x)- \sin ^{4}(2x) )= \frac{1+ \tg ^{2}(x) }{1- \tg ^{2}(x) }}\)

[Premislav]

Zacznij od rozpisania \(\displaystyle{ \cos^4(2x)-\sin^4(2x)}\) ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Następnie skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ \cos(2x)=2\cos^2(x)-1}\) oraz \(\displaystyle{ \sin(2x)=2\sin(x) \cos(x)}\). Może się też przydać tożsamość \(\displaystyle{ 1+\tg^2(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}}\)
Ostatecznie otrzymasz równanie zmiennej np. \(\displaystyle{ t=\cos x}\).

[piasek101]

Albo.
Dziedzina (w powyższym też być powinna).
Zgubić tangensy na rzecz sinusa i kosinusa.
Przekształcić prawą + pomnożyć stronami przez mianownik (inny niż 1).
Pomnożyć stronami przez sinusa.
Kończyć.

[Santiago A]

Po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę mamy

\(\displaystyle{ (2 \cos x -1) (2 \cos 3x - 1)(2 \cos 3x + 2 \cos 2x + 2\cos x +1)(\sec 2x) = 0}\).

Wszystkie czynniki poza przedostatnim nie sprawiają większych trudności. Rozbijamy:

\(\displaystyle{ 1 + 2 \cos x + 2 \cos^2x + 2\cos^3 x - 2 \sin x^2 - 6 \cos x \sin^2 x = 0}\).

Niech \(\displaystyle{ y = \cos x}\), wtedy \(\displaystyle{ \sin^2 x = 1 - y^2}\). Dostajemy równanie \(\displaystyle{ 8y^3 + 4y^2 - 4y -1 = 0}\). Organizatorzy byli zadowoleni z zostawienia tego w takiej postaci czy trzeba było męczyć się z szukaniem pierwiastków? Żaden nie jest przyjemny.

[bosa_Nike]

Nie zwija się to wyjściowe równanie przypadkiem do \(\displaystyle{ \sin x=\sin 8x}\)?

[piasek101]

Tak miałem.

Ps. Przy odpowiednich założeniach.