Rozwiąż równanie z sinusami

[Kyriet]

Witam. Mam problem z rozwiązaniem równania:

\(\displaystyle{ \sin x = \sin 2x}\)

Zadanie to znajduje się przed rozdziałem traktującym o sinusie podwojonego kąta, dlatego na ten moment nie znam żadnych takich wzorów i nie wolno mi z nich korzystać.
Wynik w książce:
\(\displaystyle{ x = 2k\pi \quad \vee \quad x = \frac{(2k+1)\pi}{3}}\)

Nie mam pojęcia jak się robi takie zadania i mam szczerą nadzieję, że jest to wykonalne bez rysowania wykresu. Dlaczego bez wykresu? Bo późniejsze przykłady będą takie, że po narysowaniu dwóch funkcji przetną się one w miejscach, których nie zaznaczam na żadnej osi.

Drugie równanie jest następujące:

\(\displaystyle{ \ctg3x = \ctg\left( x + \frac{\pi}{4}\right)}\)

Wynik w książce:
\(\displaystyle{ \frac{(4k+1)\pi}{8}}\)

Coś nawet próbowałem liczyć... z marnym skutkiem:
\(\displaystyle{ \ctg\left( x + \frac{\pi}{4}\right) = \ctg\left( x + \frac{\pi}{4} + T \right)}\)

\(\displaystyle{ \ctg3x = \ctg( 3x + 3T )}\)

\(\displaystyle{ \ctg( 3x + 3T ) = \ctg\left( x + \frac{\pi}{4} + T \right)}\)

\(\displaystyle{ 3x + 3T = x + \frac{\pi}{4} + T}\)

\(\displaystyle{ 2x = \frac{\pi}{4} - 2T}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi - 8T}{8}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{\pi - 8k\pi}{8}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{(1 - 8k)\pi}{8} \qquad}\) <--- no kurcze, prawie :/

Pozdrawiam.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ \sin x = \sin 2x}\)

wpisz w google i od razu masz rozwiązanie

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \sin \beta \Leftrightarrow \alpha = \beta + 2 k \pi \vee \alpha = \pi - \beta + 2 k \pi \\ \cos \alpha = \cos \beta \Leftrightarrow \alpha = \beta + 2 k \pi \vee \alpha = - \beta + 2 k \pi \\
\tan \alpha = \tan \beta \Leftrightarrow \alpha = \beta + k \pi \\
\cot \alpha = \cot \beta \Leftrightarrow \alpha = \beta + k \pi}\)
To powinno pomóc.

[Kyriet]

miodzio1988, wszędzie liczone ze wzoru \(\displaystyle{ \sin2\alpha = 2\sin\alpha \cdot \cos\alpha}\)

AloneAngel, Wszystko wyszło w sekundę. Brakowało mi takich twierdzeń.

Dziękuję bardzo.