Tożsamość z arkus tangensami

legolas · Post autor: **legolas** » 20 cze 2016, o 23:34

\(\displaystyle{ \arctg \frac{1+x}{1-x}-\arctg x = \frac{\pi}{4}}\) dla \(\displaystyle{ x < 1}\)

W jaki sposób należy to poprawnie zrobić? Po przeniesieniu \(\displaystyle{ \arctg x}\) na prawo stangensowaniu obu stron, wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{1+x}{1-x} = \frac{1+x}{1-x}}\)
Lecz co z warunkiem \(\displaystyle{ x<1}\)?

Chewbacca97 · Post autor: **Chewbacca97** » 20 cze 2016, o 23:57

Korzystając z własności funkcji cyklometrycznych:

1. \(\displaystyle{ \arctg x + \arctg y = \arctg \frac{x+y}{1-xy}}\)
2. \(\displaystyle{ \arctg \left( -x\right) = - \arctg x}\)

\(\displaystyle{ \arctg \frac{1+x}{1-x}-\arctg x = \arctg \frac{ \frac{1+x}{1-x} - x}{1 + x \cdot \left( \frac{1+x}{1-x}\right) } = \arctg \frac{ \frac{x^2 +1}{1-x} }{\frac{x^2 +1}{1-x}} = \arctg 1 = \frac{\pi}{4}}\)

Premislav · Post autor: **Premislav** » 21 cze 2016, o 00:06

Chewbacca97, tylko że ta pierwsza tożsamość jest dość mało prawdziwa, gdy \(\displaystyle{ x>0 \wedge y>0 \wedge xy>1}\). Tu się uwidacznia istotność tego ograniczenia z treści.
Moja propozycja: rachunek różniczkowy (choć na pewno da się dużo ładniej - jak Chewbacca97 już pokazał, tylko trzeba uważać na założenia). Uwaga do rozwiązania z rachunku różniczkowego: z tego, że funkcja jest stała na \(\displaystyle{ (-\infty,1)}\) i jest stała na \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\) nie wynika, że jest stała na \(\displaystyle{ \RR\setminus \left\{1\right\}}\).-- 20 cze 2016, o 23:09 --Zaznaczę tylko, że nie chcę, żeby mój post był odebrany jako złośliwość. W sumie mogłem to trochę inaczej sformułować...

legolas · Post autor: **legolas** » 21 cze 2016, o 00:11

Można by też policzyć granicę do -inf oraz \(\displaystyle{ 1^-}\), następnie zobaczyć, że pochodna tej funkcji to 0, więc funkcja jest stała, a następnie podstawić np. \(\displaystyle{ x=0}\) i zobaczyć, że to wynosi właśnie pi czwartych. Tylko właśnie liczyłem na jakieś rozwiązanie za pomocą przekształceń z uwzględnieniem założeń

Chewbacca97 · Post autor: **Chewbacca97** » 21 cze 2016, o 00:14

Premislav, czyli powinno być jeszcze: \(\displaystyle{ x \cdot \left( \frac{1+x}{1-x}\right) > -1}\) ? I już widać po co było ograniczenie.

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 22 cze 2016, o 19:07

legolas pisze:\(\displaystyle{ \arctg \frac{1+x}{1-x}-\arctg x = \frac{\pi}{4}}\) dla \(\displaystyle{ x < 1}\)

Lecz co z warunkiem \(\displaystyle{ x<1}\)?

1. musi być \(\displaystyle{ 1-x \neq 0\ \Rightarrow \ x \neq 1}\)
2. gdyby było \(\displaystyle{ x>1\ \Rightarrow\ \arctg x>\frac{\pi}{4}\ \Rightarrow \arctg \frac{1+x}{1-x}>\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}}\) więc sprzeczność

\(\displaystyle{ \tg\left(\arctg \frac{1+x}{1-x}-\arctg x\right) = \frac{\tg\left(\arctg \frac{1+x}{1-x} \right)-\tg\left(\arctg x \right) }{1+\tg\left(\arctg \frac{1+x}{1-x} \right)\cdot\tg\left(\arctg x \right)}=\frac{\frac{1+x}{1-x}-x }{1+\frac{1+x}{1-x}\cdot x}=1}\)

\(\displaystyle{ \tg\frac{\pi}{4}=1}\)