wykazać stałość funkcji
: 4 wrz 2007, o 19:33
Wykaż, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=cos^{2}x+cos^{2}(\frac{\pi}{3}+x)-cosxcos(\frac{\pi}{3}+x)}\) jest stała
\(\displaystyle{ y=cos^{2}x+(cos\frac{\pi}{3}cosx-sin\frac{\pi}{3}sinx)^{2}-cosx(cos\frac{\pi}{3}cosx-sin\frac{\pi}{3}sinx)}\)
\(\displaystyle{ y=cos^{2}x+(\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx)^{2}-cosx(\frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx)}\)
dalej
\(\displaystyle{ y=cos^{2}x+\frac{1}{4}cos^{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsinx+\frac{3}{4}sin^{2}x-\frac{1}{2}cos^{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}cosxsinx}\)
a przecież \(\displaystyle{ cos^{2}x+\frac{3}{4}sin^{2}x=1-\frac{1}{4}sin^{2}x}\) stąd po zredukowaniu wyrazów powstaje \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{4}sin^{2}x+\frac{1}{4}cos^{2}x-\frac{1}{2}cos^{2}x=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}sin^{2}x+\frac{1}{4}sin^{2}x=0,75}\)