Matematyka.pl

1) Zbadaj czy istnieje trójkąt o takich kątach \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) dla których \(\displaystyle{ sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta - sin^{2}\gamma = 2}\)
2) Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \gamma}\) są kątami trójkąta i \(\displaystyle{ \frac{sin\alpha}{sin\beta}=2cos\gamma}\) to trójkąt jest równoramienny

Ad 1:
Zauważ, że dla dowolnego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) zachodzi \(\displaystyle{ 0 q \sin^2 q 1}\). Mamy równanie \(\displaystyle{ \sin^2 + \sin^2 \beta = 2 + \sin^2 \gamma}\).
Oszacujemy z góry lewą, a z dołu prawą stronę tego równania. Mamy:
\(\displaystyle{ \sin^2 + \sin^2 \beta q 1+1=2 \\ 2+ \sin^2 \gamma q 2+0=2}\)
Wynika z tego, że równość zachodzić tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sin^2 = \sin^2 \beta=1 \sin^2 \gamma=0}\).
Jednak jeśli \(\displaystyle{ \sin \gamma=0}\), to \(\displaystyle{ \gamma (0^{\circ} ; 180^{\circ} )}\)z czego wynika, że taki trójkąt nie istnieje.

Ad 2:
Skorzystamy z faktu, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta+ \gamma=180^{\circ}}\). Korzystając z wzorów redukcyjnych mamy \(\displaystyle{ \sin \aplha= \sin ( 180^{\circ} - ( \beta + \gamma) )=\sin ( \beta + \gamma )}\). Wynika stąd, że \(\displaystyle{ \sin ( \beta + \gamma)= 2 \sin beta \cos \gamma}\). Korszystając teraz z wzoru na sinus sumy, a później różnicy, rozpisujemy prawdą stronę tej równości i przekształcamy:
\(\displaystyle{ \sin \beta \cos \gamma + \cos \beta \sin \gamma = 2 \sin \beta \cos \gamma \\\cos \beta \sin \gamma - \sin beta \cos \gamma=0 \\ \sin ( \beta - \gamma)=0 \\ \beta - \gamma=0 \\ \beta=\gamma}\)