Miejsce zerowe

[SzachMatematyka]

Znajdź miejsce zerowe podanej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{\sin x+\cos y}{1-e^{xy}}}\),

\(\displaystyle{ \sin x=-\cos y}\), Co dalej to juz nie mam pojęcia.

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ \cos(y) = -\sin(x) = \sin(-x) = \cos(\frac{\pi}{2} - (-x)) = \cos(\frac{\pi}{2} +x )}\)

Dalej sobie poradzimy?

[a4karo]

Wzory redukcyjne, albo wzór na sumę sinusa i kosinusa

[SzachMatematyka]

czyli \(\displaystyle{ y= \frac{ \pi }{2} +x}\), dobrze??

[AloneAngel]

Nie. Po pierwsze zapomniałeś gdzieś o okresie. Po drugie \(\displaystyle{ \cos(\alpha) = \cos(\beta) \Leftrightarrow \alpha = \beta + 2k \pi}\) lub \(\displaystyle{ \alpha = -\beta + 2k \pi, \ k \in \mathbb{Z}}\)

[SzachMatematyka]

\(\displaystyle{ y=x+ \frac{5k \pi }{2} , k \in \mathbb{Z}}\),

\(\displaystyle{ y=-x+ \frac{5k \pi }{2} , k \in \mathbb{Z}}\),
teraz jest ok?

[AloneAngel]

Prawie dobrze. Dostajemy \(\displaystyle{ y = \frac{\pi}{2} + x + 2 k \pi = x + \frac{\pi + 4k \pi}{2} = x + \frac{(1+4k) \pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z}}\) Drugi analogicznie.

[SzachMatematyka]

Ostateczny zapis bedzie taki?
\(\displaystyle{ M_0=\left\{(x,y): y= x + \frac{(1+4k) \pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \vee y=- x + \frac{(1+4k) \pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \right\}}\)

[AloneAngel]

Jeszcze trzeba uwzględnić mianownik (bo kiedyś się on zeruje) - należy sprawdzić czy jakieś miejsca zerowe nam nie zerują mianownika i się ich pozbyć (bo wtedy mamy dzielenie przez zero).

[SzachMatematyka]

\(\displaystyle{ M_0=\left\{(x,y): y= x + \frac{(1+4k) \pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \wedge x \neq 0 \vee y=- x + \frac{(1+4k) \pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z}\wedge x \neq 0 \right\}}\)
Teraz juz powinno byc dobrze-- 28 maja 2016, o 18:34 --Dzięki za pomoc

[AloneAngel]

Powinniśmy jeszcze wyrzucić te miejsca w których \(\displaystyle{ y = 0}\), tj punkty \(\displaystyle{ x = \pm\frac{(1+4k) \pi}{2}}\), bo dla \(\displaystyle{ y = 0}\) mianownik też nam się zeruje.

[Milczek]

\(\displaystyle{ \sin x+\cos y= \sqrt{2} \left( \sin x+\frac{\pi}{4} \right) =0}\)

Ukryta treść:    

Tego nie było to podam standardowo dla siebie , podam , trochę się spóźniłem

[a4karo]

\(\displaystyle{ \sin x+\cos y= \sqrt{2} \left( \sin x+\frac{\pi}{4} \right) =0}\)

Ukryta treść:    

Tego nie było to podam standardowo dla siebie , podam , trochę się spóźniłem

Twierdzisz, ze \(\displaystyle{ \sin x+\cos y}\) nie zależy od \(\displaystyle{ y}\)?

[Milczek]

\(\displaystyle{ \sin x+\cos y= \sqrt{2}(\sin x+\frac{\pi}{4})=0}\)

Ukryta treść:    

Tego nie było to podam standardowo dla siebie , podam , trochę się spóźniłem

Twierdzisz, ze \(\displaystyle{ \sin x+\cos y}\) nie zależy od \(\displaystyle{ y}\)?

A, to nie dziwie się że tego nie było.Chyba muszę trochę zmienić moje standardy. Nie, nie twierdzę tak.

Ukryta treść:    

Dziękuję za pokazanie błędu.

[a4karo]

Ale rzeczywiście takie podejście najszybciej i bez komplikacji daje wszystkie rozwiązania:
\(\displaystyle{ \sin x+\cos y=\sin x +\sin(\pi/2-y)=2\sin\frac{x-y+\frac{\pi}{2}}{2}\cos\frac{x+y-\frac{\pi}{2}}{2}=0}\)