rozwiaz

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ cos^2 5x+cos^2 x+cos 6x=1}\)

[luka52]

Po licznych przekształceniach otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 4 \cos^2 2x \cos 6x = 0}\)
Stąd rozwiązaniem jest: \(\displaystyle{ x = \frac{\pi}{12} + k \frac{\pi}{6}}\)

[mol_ksiazkowy]

hm, a tzn...?

[luka52]

\(\displaystyle{ \cos 5x = \cos x - (\cos x - \cos 5x) = \cos x - 2 \sin 3x \sin 2x = \cos x - 4 \sin 3x \sin x \cos x =\\
= \cos x (1 - 4 \sin 3x \sin x) = \cos x ( 1 - 2 \cos 2x + 2\cos 4x)\\
\cos^2 5x = \cos^2 x ( 1 - 2 \cos 2x + 2\cos 4x)^2 = \frac{1}{2} (1 + \cos 10 x)\\
\cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)\\
...\\
\cos^2 5x + \cos^2 x + \cos 6x = \frac{1}{2}(2 + \cos 2x + 2 \cos 6x + \cos 10 x) = 1\\
\cos 2x + 2 \cos 6x + \cos 10 x = 0\\
4 \cos^2 2x \cos 6x = 0 \ldots}\)



edit:
Trochę dużo niepotrzebnych przekształceń
Wszak skoro:
\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)}\)
to analogicznie:
\(\displaystyle{ \cos^2 5x = \frac{1}{2} (1 + \cos 10 x)}\)
I następnie podstawić to po prawej stronie i rozwiązaywać j.w.