Koncepcja rozwiązania

[Richard del Ferro]

Cześć.
Zastanawia mnie jak rozwiązać dobrze to równanie

\(\displaystyle{ \left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)^{\cos 2x}\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)^{\sin 2x}=1}\)

czyli

\(\displaystyle{ \left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)^{\sin 2x+\cos 2x}=1}\)

I teraz sobie rozpatruje kiedy wyrażenie z potęgą jest równe \(\displaystyle{ 1}\).

1. gdy wykładnik równy jest \(\displaystyle{ 0}\), a podstawa różna od \(\displaystyle{ 0}\).
Bo \(\displaystyle{ 0^{0}}\) to nieoznaczony, lecz delta tego wyrażenia jest mniejsza od zera, więc pomijamy w rozumowaniu
2. gdy podstawa potęgi równa jest \(\displaystyle{ 1}\), a wykładnik dowolny

1.
\(\displaystyle{ \sin 2x+\cos 2x=0}\)

\(\displaystyle{ \sin 2x+\sin \left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{\pi}{4}\cos (2x-\frac{\pi}{4})=0}\)

\(\displaystyle{ 2\cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}\cos \left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0}\)

\(\displaystyle{ \cos \left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x=2x-\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x=\frac{\pi}{4}-2x+2k\pi}\)

Tu oczywiście należy rozwiązać powyższe równania, ale zostawmy, chodzi tu o samą koncepcję.

2.
\(\displaystyle{ x^{2}+\frac{1}{2}=1}\)

\(\displaystyle{ x^{2}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Czy są tu jakieś luki w rozumowaniu?
Prosze o pomoc doświadczonych

[Kacperdev]

w porządku

oprocz:

\(\displaystyle{ x=2x-\frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x=\frac{\pi}{4}-2x+2k\pi}\)

To nie ma zbytniego sensu.

\(\displaystyle{ \cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \Leftrightarrow 2x-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2} + 2k\pi \vee 2x-\frac{\pi}{4} =-\frac{\pi}{2} + 2k\pi}\)