(4 zadania) Rozwiąż równania trygonometryczne z logarytm

[Rav_DuCe]

Mam mały problem z poniższymi przykładami. Jakby ktoś był w stanie mi pomóc z góry dziękuje.

I) \(\displaystyle{ 3^{\sin^{2}x}=3^{\cos^{2}x}+2}\)

II) \(\displaystyle{ 4(\log_{2}{\cos{x}})^{2}+\log_2(1+\cos{2x})=3}\)

III) \(\displaystyle{ \sin(\pi\cdot \log{x})+\cos(\pi\cdot \log{x})=1}\)

IV) \(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{\log_{0,5}^{2}\cdot \sin{x}}+(\sin{x})^{\log_{0,5}\cdot \sin{x}}=1}\)




Edit by Tomek R.: Poprawiłem formuły TeXa.

[olazola]

1)
\(\displaystyle{ \large3^{sin^2x}=3^{1-sin^2x}+2\\\large3^{sin^2x}=\frac{3}{3^{sin^2x}}+2}\)
Następnie należy podstawić za \(\displaystyle{ \large3^{sin^2x}=t}\), gdzie t>0

2) Trzeba skorzystać z faktu ze: \(\displaystyle{ \large1+cos2x=1+cos^2x-sin^2x=1+cos^2x-1+cos^2x=2cos^2x}\)
następnie podstawić za \(\displaystyle{ \large log_{2}cosx=t}\)

3) podnieść obustronnie do kwadratu

4) skorzystać z własności logarytmow

[Rav_DuCe]

Ad II)
Czy trzeba dawać jakieś założenie dla t (t

[olazola]

Założenia są dla liczby logarytmowanej, z definicji logarytmu wiadomo, że musi byc ona większa od zera, czyli w tym przypadku cosx>0 i 1+cos2x>0 jednoczesnie i stąd te ograniczenia. Czyli wystarczy rozwiązać powyższe nierówności.

[Rav_DuCe]

ok dzieki juz wiem w czym tkwił mój błąd
W IV natomiast doszedłem do postaci \(\displaystyle{ sinx^{log_{0,5}sinx}=\frac{1}{2}}\) ale nie wiem co dalej

[olazola]

Nie wiem skąd ta postać, ale może spóbuj zrobić to w ten sposób:

\(\displaystyle{ log_{\frac{1}{2}}sinx=t\\ \(\frac{1}{2}\)^t=sinx}\)

\(\displaystyle{ \(\frac{1}{2}\)^{t^2}+\[\(\frac{1}{2}\)^t\]^t=1\\2\(\frac{1}{2}\)^t^2=1\\2\cdot2^{-t^2}=1\\2^{-t^2+1}=2^0\\t^2=1}\)

No i jeszcze założenia.

[Rav_DuCe]

Do takiej postaci doszedłem tak:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2})^{log_{0,5}^{2}sinx} + (six)^{log_{0,5}sinx}=1 \\ (sinx)^{log_{0,5}sinx} + (sinx)^{log_{0,5}sinx}=1 \\ (sinx)^{log_{0,5}sinx}=t \\ 2t=1\\ t=\frac{1}{2}\\ (sinx)^{log_{0,5}sinx}=\frac{1}{2}}\)

[olazola]

Dalej moim zdaniem, powinno wyglądać to tak:
Zapisuję 1/2 w nstępującej postaci:
\(\displaystyle{ \Large\frac{1}{2}=(sinx)^{log_{sinx}0,5}}\)
Co daje nam:
\(\displaystyle{ \Large(sinx)^{log_{0,5} sinx}=(sinx)^{log_{sinx}0,5}\\log_{0,5}sinx=\frac{log_{0,5}0,5}{log_{0,5}sinx}\\log_{0,5}sinx=\frac{1}{log_{0,5}sinx}\;\large | \cdot log_{0,5}sinx\\log^2_{0,5}sinx=1\\log_{0,5}sinx=1\;\vee\;log_{0,5}sinx=-1}\)

Założenie: \(\displaystyle{ \{sinx>0\\sinx\neq 1}\)

[bisz]

>> x=solve(3.^(sin(x)*sin(x))-3.^(cos(x)*cos(x))-2)

x =

[ atan((log(3)*(log(3)-log(-3)))^(1/2),-(log(3)*log(-3))^(1/2))]
[ atan(-(log(3)*(log(3)-log(-3)))^(1/2),-(log(3)*log(-3))^(1/2))]
[ atan((log(3)*(log(3)-log(-3)))^(1/2),(log(3)*log(-3))^(1/2))]
[ atan(-(log(3)*(log(3)-log(-3)))^(1/2),(log(3)*log(-3))^(1/2))]
[ 1/2*signum(1)*pi]
[ 1/2*signum(-1)*pi]

jesli sie dowiem co znaczy w notacji matlaba ',' przy wyniku oraz co to jest signum to uzupełnie post chyba ze zrobi to ktos z bardziej wszechwiedzacych