problem z równaniem trygonometrycznym z kiełbasy

[nebhe]

Udowodnij, że dla dowolnych kątów \(\displaystyle{ \alpha}\), \(\displaystyle{ \beta}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \left( \cos \alpha + \cos \beta \right) ^{2} + \left( \sin \alpha + \sin \beta \right) ^{2} = 4\cos ^{2} \frac{ \alpha - \beta }{2}}\)

Rozpisuję lewą i dochodzę do wyrażenia
\(\displaystyle{ 2 \left( 1 + \cos \frac{ \alpha - \beta }{2} \right)}\) i dalej nie wiem jak to przerobić na kwadrat i 4 z przodu.

[Premislav]

Pokaż, jak niby do tej postaci dochodzisz, bo moim zdaniem niepoprawnie przekształciłeś.

A teza jest fałszywa, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ \alpha=\beta}\) i klops.

[Poszukujaca]

Proponuje zastosować wzór \(\displaystyle{ \sin x \sin y = \cos (x-y) - \cos x \cos y}\)

[Straznik Teksasu]

Na wiki masz wzory:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Funkcje_trygonometryczne#Podstawowe_to.C5.BCsamo.C5.9Bci_trygonometryczne

Pewnie się da to zwinąć do samego cosinusa, ale współczynnik przed nim będzie różny niż \(\displaystyle{ 4}\).

[nebhe]

Zadanie jest przepisane żywcem ze zbioru zadań kiełbasy z 2015 cz.1
\(\displaystyle{ \cos ^{2} \alpha + 2\cos \alpha \cdot \cos \beta +\cos ^{2} \beta + \sin ^{2} \alpha + 2\sin \alpha \cdot \sin \beta + \sin ^{2} \beta = 2 \left( 1 + \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \right) = 2 \left( 1 + \cos \frac{ \alpha - \beta }{2} \right)}\)

[Premislav]

Ech... No to teraz jasne. Na drugi raz popatrz co piszesz. Zatem zadanie jest niepoprawnie przepisane ze zbioru zadań Kiełbasy, a właściwa teza to \(\displaystyle{ \left( \cos \alpha{\red + }\cos \beta \right) ^{2} + \left( \sin \alpha{\red +}\sin \beta \right) ^{2} = 4\cos ^{2} \frac{ \alpha - \beta }{2}}\)

-- 1 maja 2016, o 15:00 --

Ponadto tutaj coś mi się nie podoba:
\(\displaystyle{ 2 \left( 1 + \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \right) =2 \left( 1 + \cos \frac{ \alpha - \beta }{2} \right)}\)
To nie jest prawda, powinno być \(\displaystyle{ 2\left( 1+\cos \left( \alpha-\beta \right) \right)}\) i teraz wystarczy skorzystać ze wzorku \(\displaystyle{ 1+\cos 2x=2\cos ^{2} \frac{x}{2}}\), by skończyć zadanie. A ten wzór to po prostu przekształcony wzór na cosinus podwojonego kąta (\(\displaystyle{ \cos ^{2}x/2-\sin ^{2}x/2=2\cos ^{2}x/2-1}\) z jedynki trygonometrycznej itd.).

[nebhe]

Rzeczywiście, tam powinny być plusy, mój błąd. i tak, nie przez dwa tylko samo odejmowanie. A przeglądałem to ze trzy razy żeby znaleźć błąd, a tu taki banał. Sorki za problem

Poprawiłem 1 post gdyby ktoś w przyszłości korzystał.