najmniejsza wartość wyrazenia

[alfred0]

najdz najmniejszą wartość wyrazenia \(\displaystyle{ 4\cos^2\frac{n\pi}{9}+\sqrt[3]{7-12\cos^2\frac{n\pi}{9}}}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\).

[SlotaWoj]

Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{n\pi}{9}}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 20^\circ}\) i jest \(\displaystyle{ \cos^2}\) wystarcza przeanalizować wartości wyrażenia dla \(\displaystyle{ \{20^\circ,\,40^\circ,\,...\,180^\circ\}}\).

[Chewbacca97]

SlotaWoj, a czy można to zapisać w ten sposób?

\(\displaystyle{ f\left( x\right) = 4x^2 + \sqrt[3]{7 - 12x^2}}\)

Pochodna będzie brzydka, ale do policzenia. Gdy znajdę iksa, dla którego funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, w tym przypadku \(\displaystyle{ x=0}\), mogę wrócić do podstawienia \(\displaystyle{ x=\cos\frac{n\pi}{9}}\)? Oczywiście \(\displaystyle{ \cos \frac{ \frac{9}{2}\pi }{9} = 0}\), no ale \(\displaystyle{ \frac{9}{2} \notin \mathbb{Z}}\). Za to mogę wyliczyć dla jakich całkowitych \(\displaystyle{ n}\), wartość cosinusa jest możliwie bliska zeru?

Ukryta treść:    

Tzn. dla \(\displaystyle{ n\in\left\{9m + 4;9m + 5\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ m\in\mathbb{Z}}\).

Czy byłoby to poprawne rozwiązanie?

[SlotaWoj]

Dla \(\displaystyle{ x\in(-1;\,1)}\) Twoja \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie miała trzy lokalne minima (w tym dla \(\displaystyle{ x=0}\)) i żadnemu z nich nie odpowiada całkowite \(\displaystyle{ n}\). Trzeba sprawdzić wartości całkowite sąsiadujące z:

• \(\displaystyle{ \frac{9\arccos x_i}{\pi}}\),

gdzie \(\displaystyle{ i\in\{1;\,2;\,3\}}\) to numer miejsca zerowego pochodnej ww. funkcji.

Ukryta treść:    

Tak się składa, że dla wszystkich sześciu możliwych \(\displaystyle{ n}\), wyrażenie przyjmuje tę samą wartość.

Prościej jest zrezygnować z obliczania pochodnej, tylko od razu sprawdzić wartości wyrażenia dla \(\displaystyle{ \{20^\circ,\,40^\circ,\,...\,180^\circ\}}\).