tłumaczenie zadania trygonometria

[itappa]

Niech liczby \(\displaystyle{ x,y,z \in \mathbb{R^+}}\). Dowieźć, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)
jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=xyz.}\)


Czy mógłby ktoś sprawdzić i prześledzić mój tok myślenia czy to jest w porządku?

Dokonując podstawienia
\(\displaystyle{ \tg\alpha=x, \qquad \tg\beta=y, \qquad \tg\gamma=z, \qquad \alpha,\beta,\gamma \in \big \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\big \right)}\)
mamy
\(\displaystyle{ \frac{\tg\alpha}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}+\frac{\tg\beta}{\sqrt{1+\tg^2\beta}}+\frac{\tg\gamma}{\sqrt{1+\tg^2\gamma}}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}.}\)
Pamiętając, że
\(\displaystyle{ \frac{\tg\alpha}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\sin\alpha,}\)
nierówność zadana przyjmuje postać

\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}.}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) są kątami pewnego trójkąta, wtedy korzystając ze wzorów \(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\beta}\) i \(\displaystyle{ \sin \left( \alpha+\beta \right)}\) i podstawienia \(\displaystyle{ \gamma=180^o- \left( \alpha+\beta \right)}\)
lewą stronę nierówności możemy przekształcić równoważnie
\(\displaystyle{ 2\sin\big \left( \frac{\alpha+\beta}{2}\big \right) \cos\big \left( \frac{\alpha-\beta}{2}\big \right) +2\sin\big \left( \frac{\alpha+\beta}{2}\big \right) \cos\big \left( \frac{\alpha+\beta}{2}\big \right) .

4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}.}\)
Uwzględniając tożsamości
\(\displaystyle{ \cos x\cos y=\frac{1}{2} \left( \cos \left( x-y \right) +\cos \left( x+y \right) \right) , \qquad \cos \left( \frac{\pi}{2}-x \right) =\sin x}\)oraz ograniczenia \(\displaystyle{ \cos x\leqslant 1}\) mamy
\(\displaystyle{ 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=
2\cos\frac{\alpha}{2}\big \left( \cos\frac{\beta-\gamma}{2}+\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\big \right)
\leqslant 2\cos\frac{\alpha}{2} \left( 1+\cos\frac{\beta+\gamma}{2} \right) = 2 \cos\frac{\alpha}{2}\big \left( 1+\sin\frac{\alpha}{2}\big \right) .}\)
Teraz wykorzystując tożsamość
\(\displaystyle{ \cos \left( x-\frac{\pi}{6} \right) =\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x,}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ 2\cos\frac{\alpha}{2}\big \left( 1+\sin\frac{\alpha}{2}\big \right) =
\frac{2}{\sqrt{3}}\big \left( \sqrt{3}\cos\frac{\alpha}{2}\big \right) \left( 1+\sin\frac{\alpha}{2} \right)
\leqslant \frac{2}{\sqrt{3}}\big \left( \frac{1+\sin\frac{\alpha}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{\alpha}{2}}{2}\big \right) ^2
=\frac{2}{\sqrt{3}}\big \left( \frac{1+2\cos \left( \frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6} \right) }{2}\big \right) ^2
\leqslant \frac{2}{\sqrt{3}}\big \left( \frac{1+2\cdot 1}{2}\big \right) ^2=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{9}{4}=\frac{18}{4\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.}\)

[Premislav]

\(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in \big(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\big)}\)

Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ x,y,z}\) są dodatnie, powinno być raczej np.
\(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in \big(0;\frac{\pi}{2}\big)}\), ale to akurat detal.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) są kątami pewnego trójkąta

Dlaczego można tak założyć? To trzeba uzasadnić.

[itappa]

\(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in \big(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\big)}\)

Z uwagi na to, że \(\displaystyle{ x,y,z}\) są dodatnie, powinno być raczej np.
\(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in \big(0;\frac{\pi}{2}\big)}\), ale to akurat detal.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) są kątami pewnego trójkąta

Dlaczego można tak założyć? To trzeba uzasadnić.

Mogłabyś mi podpowiedzieć jak mogę to uzasadnić że mogę tak założyć o kątach w trójkącie?

[Premislav]

Nie umiem. Myślałem nad tym trzy dni po jakieś dwie godziny i nic. Dowód algebraiczny, omijający trygonometrię też mi nie wyszedł.
Zwróciłem jedynie uwagę na to, że rozwiązanie zadania jest niekompletne.

[dec1]

Zgodnie z Twoimi podstawieniami \(\displaystyle{ \tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\cdot\tg\beta\cdot\tg\gamma}\), co jest równoważne \(\displaystyle{ \sec\alpha\sec\beta\sec\gamma\sin(\alpha+\beta+\gamma)=0}\). Secans nigdy nie jest równy zero, więc \(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta+\gamma)=0}\), a to jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}k}\)

Dalej Twoim dowodem i po zadaniu.

[Dilectus]

itappa, popatrz:

dowieźć - bo dowiozę

dowieść - bo dowiodę.

[mint18]

Nierówność \(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}}\) można też uzasadnić wykorzystując nierówność Jensena. \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma \in (0, \frac{\pi}{2})}\) zgodnie z Twoim założeniem są kątami pewnego trójkąta. Funkcja \(\displaystyle{ \sin x}\) jest w tym przedziale wklęsła, mamy w takim razie: \(\displaystyle{ \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma \le 3\sin( \frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}) = 3\sin(60^{\circ}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}}\).