Geometryczny dowód

ania1056 · Post autor: **ania1056** » 21 kwie 2016, o 20:08

Czy zna ktoś geometryczny dowód wzorów na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych, np. $\displaystyle{ \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2}}$ oraz $\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta =2\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}\cos \frac{ \alpha - \beta }{2}}$ ?

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 22 kwie 2016, o 20:02

Wyprowadza się geometrycznie wzory na sinus sumy i różnicy dwóch argumentów, a potem stosuje
podstawienia:

$\displaystyle{ x= \frac{\alpha + \beta}{2}, \ \ y = \frac{\alpha - \beta }{2}.}$

a4karo · Post autor: **a4karo** » 22 kwie 2016, o 21:56

Ja wymyśliłem coś takiego:

: 1.jpg (38.97 KiB) Przejrzano 31 razy

ania1056 · Post autor: **ania1056** » 23 kwie 2016, o 11:03

O, dziękuję pięknie. A jak ten rysunek krok po kroku wykonujemy?

-- 23 kwi 2016, o 10:13 --

Cofam pytanie Dziękuję za ten geometryczny dowód.

-- 23 kwi 2016, o 11:01 --

a4karo pisze: $\displaystyle{ $$|AB|=\frac{|AA'|+|BB'|}{\cos\angle{BAA'}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}}$

Z czego skorzystałeś w tym miejscu?

Chewbacca97 · Post autor: **Chewbacca97** » 23 kwie 2016, o 13:47

Mnie to się wydaje, że to działa tak:

Oznaczmy jako $\displaystyle{ S}$ punkt przecięcia $\displaystyle{ \left| AB\right|}$ i $\displaystyle{ \left| A'B'\right|}$.
Wtedy $\displaystyle{ \cos\angle{BAA'} = \frac{\left| AA'\right| }{\left| AS\right| } = \frac{\left| BB'\right| }{\left| BS\right| }}$.
Pan a4karo, zapisał to tak:

$\displaystyle{ \left| AB\right| = \left| AS\right| + \left| BS\right| = \frac{\left| AA'\right| }{ \frac{\left| AA'\right| }{\left| AS\right| } } + \frac{\left| BB'\right| }{ \frac{\left| BB'\right| }{\left| BS\right| } } = \frac{\left| AA'\right| }{\cos\angle{BAA'}} + \frac{\left| BB'\right| }{\cos\angle{BAA'}} = \frac{\left| AA'\right| + \left| BB'\right| }{\cos\angle{BAA'}}}$

A przejście na sinusy korzysta chyba po prostu z przyjęcia, że długość promienia wynosi $\displaystyle{ 1}$ ? Jeśli nie, to proszę a4karo o wytłumaczenie. I pytanie ode mnie - czy można tak przyjąć przy dowodzie?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 23 kwie 2016, o 14:04

ania1056 pisze:O, dziękuję pięknie. A jak ten rysunek krok po kroku wykonujemy?

-- 23 kwi 2016, o 10:13 --

Cofam pytanie Dziękuję za ten geometryczny dowód.

-- 23 kwi 2016, o 11:01 --

a4karo pisze: $\displaystyle{ $$|AB|=\frac{|AA'|+|BB'|}{\cos\angle{BAA'}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}}$
Z czego skorzystałeś w tym miejscu?

Najprościej dorysować odcinek równoległy do $\displaystyle{ BB"}$ będący przedłużeniem $\displaystyle{ AA'}$

W tym dowodzie założyłem, że promien okręgu jest równy $\displaystyle{ 1}$

ania1056 · Post autor: **ania1056** » 23 kwie 2016, o 16:06

Ok. Ale no właśnie, czy można w dowodzie zakładać, że promień ma długość 1?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 23 kwie 2016, o 16:28

Tak, bo zmniejszenie/zwiększenie promienia sposoduje taką sama zmianę długości odcinków. Skutek będzie taki, że w linii drugiej zamiast $\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\beta}$ będzie $\displaystyle{ R\sin\alpha+R\sin\beta}$, a w linii trzeciej zamiast $\displaystyle{ 2\sin\ldots}$ będzie $\displaystyle{ 2R\sin\ldots}$. Przy porównaniu $\displaystyle{ R}$ sie skróci.

ania1056 · Post autor: **ania1056** » 23 kwie 2016, o 16:38

Rzeczywiście. Dzięki wielkie!

-- 23 kwi 2016, o 15:58 --

A macie pomysł dla dowodu sumy cosinusów? Zastanawiam się, czy na tym samym rysunku można by było to zrobić, ale zapewne trzeba wpaść na pomysł jakie inne odcinki dorysować sprytnie, żeby to wyszło... Będę wdzięczna za wszelką pomoc.

-- 23 kwi 2016, o 20:55 --

Wyszło!!! Dziękuję wszystkim za pomoc.