Geometryczny dowód
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 16 sty 2012, o 17:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 18 razy
Geometryczny dowód
Czy zna ktoś geometryczny dowód wzorów na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych, np. \(\displaystyle{ \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{ \alpha + \beta }{2} \cos \frac{ \alpha - \beta }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha + \cos \beta =2\cos \frac{ \alpha + \beta }{2}\cos \frac{ \alpha - \beta }{2}}\) ?
Ostatnio zmieniony 21 kwie 2016, o 20:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 7920
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Geometryczny dowód
Wyprowadza się geometrycznie wzory na sinus sumy i różnicy dwóch argumentów, a potem stosuje
podstawienia:
\(\displaystyle{ x= \frac{\alpha + \beta}{2}, \ \ y = \frac{\alpha - \beta }{2}.}\)
podstawienia:
\(\displaystyle{ x= \frac{\alpha + \beta}{2}, \ \ y = \frac{\alpha - \beta }{2}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 16 sty 2012, o 17:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 18 razy
Geometryczny dowód
O, dziękuję pięknie. A jak ten rysunek krok po kroku wykonujemy?
-- 23 kwi 2016, o 10:13 --
Cofam pytanie Dziękuję za ten geometryczny dowód.
-- 23 kwi 2016, o 11:01 --
-- 23 kwi 2016, o 10:13 --
Cofam pytanie Dziękuję za ten geometryczny dowód.
-- 23 kwi 2016, o 11:01 --
Z czego skorzystałeś w tym miejscu?a4karo pisze: \(\displaystyle{ $$|AB|=\frac{|AA'|+|BB'|}{\cos\angle{BAA'}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}}\)
- Chewbacca97
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 9 lis 2013, o 22:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 120 razy
Geometryczny dowód
Mnie to się wydaje, że to działa tak:
Oznaczmy jako \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| A'B'\right|}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \cos\angle{BAA'} = \frac{\left| AA'\right| }{\left| AS\right| } = \frac{\left| BB'\right| }{\left| BS\right| }}\).
Pan a4karo, zapisał to tak:
\(\displaystyle{ \left| AB\right| = \left| AS\right| + \left| BS\right| = \frac{\left| AA'\right| }{ \frac{\left| AA'\right| }{\left| AS\right| } } + \frac{\left| BB'\right| }{ \frac{\left| BB'\right| }{\left| BS\right| } } = \frac{\left| AA'\right| }{\cos\angle{BAA'}} + \frac{\left| BB'\right| }{\cos\angle{BAA'}} = \frac{\left| AA'\right| + \left| BB'\right| }{\cos\angle{BAA'}}}\)
A przejście na sinusy korzysta chyba po prostu z przyjęcia, że długość promienia wynosi \(\displaystyle{ 1}\) ? Jeśli nie, to proszę a4karo o wytłumaczenie. I pytanie ode mnie - czy można tak przyjąć przy dowodzie?
Oznaczmy jako \(\displaystyle{ S}\) punkt przecięcia \(\displaystyle{ \left| AB\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| A'B'\right|}\).
Wtedy \(\displaystyle{ \cos\angle{BAA'} = \frac{\left| AA'\right| }{\left| AS\right| } = \frac{\left| BB'\right| }{\left| BS\right| }}\).
Pan a4karo, zapisał to tak:
\(\displaystyle{ \left| AB\right| = \left| AS\right| + \left| BS\right| = \frac{\left| AA'\right| }{ \frac{\left| AA'\right| }{\left| AS\right| } } + \frac{\left| BB'\right| }{ \frac{\left| BB'\right| }{\left| BS\right| } } = \frac{\left| AA'\right| }{\cos\angle{BAA'}} + \frac{\left| BB'\right| }{\cos\angle{BAA'}} = \frac{\left| AA'\right| + \left| BB'\right| }{\cos\angle{BAA'}}}\)
A przejście na sinusy korzysta chyba po prostu z przyjęcia, że długość promienia wynosi \(\displaystyle{ 1}\) ? Jeśli nie, to proszę a4karo o wytłumaczenie. I pytanie ode mnie - czy można tak przyjąć przy dowodzie?
-
- Użytkownik
- Posty: 22229
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Geometryczny dowód
Najprościej dorysować odcinek równoległy do \(\displaystyle{ BB"}\) będący przedłużeniem \(\displaystyle{ AA'}\)ania1056 pisze:O, dziękuję pięknie. A jak ten rysunek krok po kroku wykonujemy?
-- 23 kwi 2016, o 10:13 --
Cofam pytanie Dziękuję za ten geometryczny dowód.
-- 23 kwi 2016, o 11:01 --
Z czego skorzystałeś w tym miejscu?a4karo pisze: \(\displaystyle{ $$|AB|=\frac{|AA'|+|BB'|}{\cos\angle{BAA'}}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}}\)
W tym dowodzie założyłem, że promien okręgu jest równy \(\displaystyle{ 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22229
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Geometryczny dowód
Tak, bo zmniejszenie/zwiększenie promienia sposoduje taką sama zmianę długości odcinków. Skutek będzie taki, że w linii drugiej zamiast \(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin\beta}\) będzie \(\displaystyle{ R\sin\alpha+R\sin\beta}\), a w linii trzeciej zamiast \(\displaystyle{ 2\sin\ldots}\) będzie \(\displaystyle{ 2R\sin\ldots}\). Przy porównaniu \(\displaystyle{ R}\) sie skróci.
-
- Użytkownik
- Posty: 56
- Rejestracja: 16 sty 2012, o 17:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 18 razy
Geometryczny dowód
Rzeczywiście. Dzięki wielkie!
-- 23 kwi 2016, o 15:58 --
A macie pomysł dla dowodu sumy cosinusów? Zastanawiam się, czy na tym samym rysunku można by było to zrobić, ale zapewne trzeba wpaść na pomysł jakie inne odcinki dorysować sprytnie, żeby to wyszło... Będę wdzięczna za wszelką pomoc.
-- 23 kwi 2016, o 20:55 --
Wyszło!!! Dziękuję wszystkim za pomoc.
-- 23 kwi 2016, o 15:58 --
A macie pomysł dla dowodu sumy cosinusów? Zastanawiam się, czy na tym samym rysunku można by było to zrobić, ale zapewne trzeba wpaść na pomysł jakie inne odcinki dorysować sprytnie, żeby to wyszło... Będę wdzięczna za wszelką pomoc.
-- 23 kwi 2016, o 20:55 --
Wyszło!!! Dziękuję wszystkim za pomoc.