Jak uzasadnić, że funkcja jest okresowa?
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Jak uzasadnić, że funkcja jest okresowa?
Jesteś pewien, że tak wygląda treść zadania? Moim zdaniem z uwagi na niewspółmierność okresów głównych \(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \sin \pi x}\) ta funkcja nie wygląda na okresową.
Kiedyś w necie widziałem dowód, że ta funkcja nie jest okresowa, co tym bardziej sugeruje, że źle napisałeś tezę.
-- 31 mar 2016, o 15:21 --
pokażę, że \(\displaystyle{ f(x)=0\Leftrightarrow x=0}\), co zakończy dowód nieokresowości.
\(\displaystyle{ \sin x+\sin \pi x=0 \bigg| \frac{ \partial }{ \partial x^{2}} \\
-\sin x-\pi^{2}\sin \pi x=0}\)
Dodając pierwsze równanie stronami do otrzymanego przez dwukrotne zróżniczkowanie, dostajemy
\(\displaystyle{ (1-\pi^{2})\sin \pi x=0}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \pi^{2}\neq 1}\), więc drugi czynnik jest zerem, stąd musi istnieć takie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), że \(\displaystyle{ \pi x=k\pi}\), czyli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą. Wtedy \(\displaystyle{ \sin \pi x=0}\), więc musi być \(\displaystyle{ \sin x=0}\), tj.\(\displaystyle{ x=k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), ale \(\displaystyle{ x}\) ma być całkowite, więc \(\displaystyle{ k=0}\).
Pewnie to jest "nieelementarne", ale szczerze powiedziawszy nie martwi mnie to.
Kiedyś w necie widziałem dowód, że ta funkcja nie jest okresowa, co tym bardziej sugeruje, że źle napisałeś tezę.
-- 31 mar 2016, o 15:21 --
pokażę, że \(\displaystyle{ f(x)=0\Leftrightarrow x=0}\), co zakończy dowód nieokresowości.
\(\displaystyle{ \sin x+\sin \pi x=0 \bigg| \frac{ \partial }{ \partial x^{2}} \\
-\sin x-\pi^{2}\sin \pi x=0}\)
Dodając pierwsze równanie stronami do otrzymanego przez dwukrotne zróżniczkowanie, dostajemy
\(\displaystyle{ (1-\pi^{2})\sin \pi x=0}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \pi^{2}\neq 1}\), więc drugi czynnik jest zerem, stąd musi istnieć takie \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), że \(\displaystyle{ \pi x=k\pi}\), czyli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą. Wtedy \(\displaystyle{ \sin \pi x=0}\), więc musi być \(\displaystyle{ \sin x=0}\), tj.\(\displaystyle{ x=k\pi}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \ZZ}\), ale \(\displaystyle{ x}\) ma być całkowite, więc \(\displaystyle{ k=0}\).
Pewnie to jest "nieelementarne", ale szczerze powiedziawszy nie martwi mnie to.
-
pesel
- Użytkownik
- Posty: 1707
- Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 412 razy
Jak uzasadnić, że funkcja jest okresowa?
Imo, można też tak. Pierwsza ma okres \(\displaystyle{ 2 \pi}\), druga ma okres \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{\pi}= 2}\). Musiałyby istnieć takie całkowite \(\displaystyle{ k_{1},k_{2}}\), aby \(\displaystyle{ k_{1} \cdot 2 \pi=k_{2}\cdot 2}\). Ponieważ po lewej jest niewymierność to taka równość nigdy nie zachodzi \(\displaystyle{ \left( \pi \ne \frac{k_{2}}{k_{1}} \right)}\).