Nierówność trygonometryczna

[radzak]

Witam.

Podczas rozwiązywania tego równania:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} \sin x+ \sqrt{2} \cos x = \sqrt{-\sin 2x}}\)

natknąłem się na pewien problem. Wyznaczając dziedzinę, muszę rozwiązać nierówność:
\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2} \sin x+ \sqrt{2} \cos x \ge 0}\)

Dotychczas podobne nierówności rozwiązywałem dzieląc przez cosinus lub sinus (tutaj pierwsze pytanie, czy można robić to w ten sposób?), wychodzi mi zatem \(\displaystyle{ \tg x \ge - \frac{1}{2}}\). Wówczas wyniki tego równania, które wyliczyłem nie należą do dziedziny. Jako, że nie posiadam odpowiedzi do rozwiązywanych przeze mnie zadań (pochodzą z jakiejś dziwnej rosyjskiej książki, której nie posiadam, tylko ksera kilku stron) korzystałem z Wolframa Alpha. Po rozwiązaniu każdego zadania sprawdzam tam sobie wyniki. Tak też zrobiłem. Zauważyłem wówczas, że rozwiązałem nierówność błędnie, a jej wynikiem jest przedział:

\(\displaystyle{ \left\langle 2\arctan (2- \sqrt{5}) + 2k \pi, 2\arctan (2+ \sqrt{5} ) + 2k \pi \right\rangle}\)

Nie za bardzo wiem, w jaki sposób rozwiązuje się takie nierówności. Proszę o pomoc.

[Dilectus]

tutaj pierwsze pytanie, czy można robić to w ten sposób?

Nie, bo nie wiadomo, jakiego znaku jest to, przez co dzielisz, więc nie wiadomo, czy zmieni się znak nierówności.-- 27 mar 2016, o 19:09 --Zrób to tak: skróć obie strony przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), podnieś obustronnie do kwadratu i pokombinuj.

[a4karo]

Przede wszystkim ustalając dziedzinę masz do rozwiązania nierówność \(\displaystyle{ -\sin 2x\geq 0}\).

Ta nierównośc o której piszesz nie jest elementem ustalania dziedziny, ale już fragmentem rozwiązywania nierówności.

[radzak]

Z tego co wiem, trzeba rozwiązać obie, \(\displaystyle{ -\sin 2x \ge 0}\) potrafię rozwiązać, niestety tej, o którą pytam, nie potrafię.

[piasek101]

Rób bez ustalania dziedziny - sprawdzisz czy znalezione wyniki spełnią wyjściowe równanie.

[radzak]

Nie da się tego policzyć? Doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ 3\cos \left( \frac{\pi}{4}-x \right) -\cos \left( x+\frac{\pi}{4} \right) \ge0}\)

Może teraz będzie jakoś łatwiej? niestety nadal nie potrafię tego ugryźć, gdyby tam tylko było:

\(\displaystyle{ 3\cos \left( \frac{\pi}{4}-x \right) -\cos \left( x-\frac{\pi}{4} \right) \ge0}\)

to wtedy bym sobie poradził