Równanie trygonometryczne

[Red1213]

Witam, mam problem z takim równaniem:

\(\displaystyle{ \cos^{4}x-\cos(2x)= \frac{3}{4}}\)

Doprowadziłem je do postaci

\(\displaystyle{ 2\cos^{4}x-2\cos^{2}x+ \frac{1}{4}=0}\)

Ale jak podstawiam zmienną pomocniczą to wychodzi mi dziwny wynik. Jak to rozwiązać?

[cosinus90]

Pokaż, jaki dziwny wynik Ci wychodzi.

[Red1213]

Jeśli \(\displaystyle{ t= \cos^{2}x}\) , to \(\displaystyle{ t_{1} = \frac{2- \sqrt{2}}{4}}\) lub \(\displaystyle{ t_{2}= \frac{2+ \sqrt{2}}{4}}\). \(\displaystyle{ t _{2} > 1}\) , więc zostaje \(\displaystyle{ t _{1}}\).

Stąd \(\displaystyle{ \cos^{2}x= \frac{2- \sqrt{2}}{4}}\).

[cosinus90]

\(\displaystyle{ t _{2} > 1}\)

Jesteś pewien?

Co do znalezienia dokładnej wartości \(\displaystyle{ x}\), jest taka możliwość.

\(\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{8} =\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2}}\), co można udowodnić korzystając ze wzoru na cosinus kąta połówkowego. Podobnie w drugim przypadku, tutaj wystarczy już skorzystać ze wzorów redukcyjnych.