Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji.

[tangerine11]

Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(x) = 2\sin x + 2\cos x}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)

Kombinuję na różnych wzorach ale niestety bez skutku, wychodzą mi jakieś głupoty... Byłabym wdzięczna za jakieś podpowiedzi i wskazówki

[szw1710]

Nasza funkcja jest symetryczna względem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), tzn. spełnia warunek \(\displaystyle{ f(x)=f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\). Wystarczy więc zbadać ją w przedziale \(\displaystyle{ \left[0,\frac{\pi}{4}\right].}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(x)f'(x)=4\cos 2x>0}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right)}\), a co za tym idzie, także \(\displaystyle{ f'(x)>0}\). Więc funkcja rośnie w tym przedziale. Dlatego maksimum jest właśnie w punkcie \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\).

Minimum łatwo wyznaczyć.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \cos x=\sin (\pi/2-x)}\) i zastosuj wzór na sumę sinusów

[szw1710]

Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ f''(x)=-f(x)\le 0}\) w naszym przedziale, co oznacza, że funkcja jest wklęsła. A jako symetryczna względem środka przedziału, ma maksimum w tym środku.

[a4karo]

A najprościej tak:
\(\displaystyle{ 2(\sin x+\cos x)=2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\\
=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\sin x+\sin\frac{\pi}{4}\cos x\right)=2\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\)

[bosa_Nike]

W badanym przedziale obie funkcje przyjmują wartości nieujemne, więc można też badać kwadrat ich sumy. Tzn. jeżeli weźmiemy \(\displaystyle{ x,y\ge 0}\) z warunkiem \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), to mamy:

\(\displaystyle{ 2(x+y)=2\sqrt{(x+y)^2}=2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)+2xy}\ge 2}\)

\(\displaystyle{ 2(x+y)=2\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)-(x-y)^2}\le 2\sqrt{2}}\)