Rozwiąż równanie

[Artut97]

Rozwiąż równanie.

\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1}\)

Podniosłem to do kwadratu i wyszło mi, że \(\displaystyle{ \sin 2x=0}\), ale to się nie zgadza z odpowiedziami. Ale to chyba dlatego, że po lewej stronie może być liczba ujemna, tak? Jak to więc zrobić?

[marika331]

Dopisać jedynkę trygonometryczną i rozwiązać układ równań.

[Jan Kraszewski]

Zamienić cosinus na sinus ze wzoru redukcyjnego i skorzystać ze wzoru na sumę sinusów.

JK

[Straznik Teksasu]

\(\displaystyle{ \sin \left( x \right) +\cos \left( x \right) = \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin \left( x \right) + \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \left( x \right) \right) =\sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \sin \left( x \right) +\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \cos \left( x \right) \right)=\\ = \sqrt{2}\sin \left( x+ \frac{\pi}{4} \right)}\)

[Artut97]

Rozwiązałem układ równań i wyszło mi \(\displaystyle{ \sin 2x=0 \Rightarrow}\) \(\displaystyle{ x=k \frac{\pi}{2}}\). Wydaje mi się, że ta odpowiedź jest dobra, a w zbiorze odpowiedź jest zła. Jaka wam wyszła odpowiedź. W zbiorze jest \(\displaystyle{ x \in \left\{ 2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi \right\}}\)

[Straznik Teksasu]

Z tą liczbą ujemną masz rację. Nie musisz przekreślać swojego rozwiązania. Możesz narysować wykres sinusa i cosinusa w okresie \(\displaystyle{ 2\pi}\). Następnie z wykresu wywnioskować dla jakich \(\displaystyle{ x}\) suma ta jest dodatnia i uwzględnić tylko te otrzymane poprzednio rozwiązania, które spełniają ten warunek.

Książka ma rację

[Artut97]

To gdzie tu jest błąd?

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x+\cos x=1 \\ \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 \end{cases}}\)

Rozpisuję drugie równanie:

\(\displaystyle{ \left( \sin x+\cos x\right) ^{2}-2\sin x\cos x=1}\)

Wstawiam \(\displaystyle{ \sin x+\cos x=1}\) i wychodzi:

\(\displaystyle{ 1^{2} -2\sin x\cos x=1 \Rightarrow \sin 2x=0}\)-- 13 mar 2016, o 21:28 --Już rozumiem, dzięki.