Równanie trygonometryczne

[nicrovishion]

Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \sin{ \frac{x}{2} } + \cos{ \frac{x}{2} } = \sqrt{2} \sin{x}}\)

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \sin{ \frac{x}{2} } + \cos{ \frac{x}{2} } = \sqrt{2} \sin{x} / \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} \sin{ \frac{x}{2} } + \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos{ \frac{x}{2} } = \sin{x}}\)

\(\displaystyle{ \cos{ \frac{ \pi }{4}} \sin{ \frac{x}{2} } + \sin{ \frac{ \pi }{4}} \cos{ \frac{x}{2} } = \sin{x}}\)

\(\displaystyle{ \sin{ \left( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} \right) } = \sin{x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} = x + 2k \pi}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{- \pi}{2} + 2k \pi}\)

Odpowiedź wg zbioru:
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi}{2} + \frac{4k \pi}{3}}\)

\(\displaystyle{ k}\) oczywiście oznacza zbiór liczb całkowitych.

-- 4 mar 2016, o 20:58 --

Poprawka, moja odpowiedź to:
\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi}{2} + 2k \pi}\)

[Premislav]

Pomysł dobry, ale tu jest błąd:
\(\displaystyle{ \sin{ \left( \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} \right) } = \sin{x}\\\frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} = x + 2k \pi}\)
Zgubiłeś bowiem drugą serię rozwiązań:
\(\displaystyle{ \frac{x}{2} + \frac{ \pi }{4} =\pi-x+2k\pi, k \in \ZZ}\)

[nicrovishion]

Mógłby mi ktoś pokrótce wyjaśnić, lub podać jakiś odnośnik jak rozwiązywać zadania typu \(\displaystyle{ \sin{x} = \sin{y}}\)? Podręcznik nic w takiej sytuacji nie mówi, a na lekcjach jeszcze trygonometrii nie miałem.
Tak przy okazji zapytam: ma ktoś jakiś taki konkretny podręcznik dla licealisty, z nietypowymi przykładami zadań (nie chodzi mi o typowy zbiór zadań, tylko o książkę do teorii).

Pozdrawiam

[Premislav]

Jeśli chodzi o podręczniki, to podobno dobre (na wyższym poziomie niż większość pozostałych) są podręczniki pana Pawłowskiego do liceum, ja miałem w szkole ksiązki autorów Kłaczkow, Kurczab, Świda, ale może raz do niego zajrzałem, poza tym to było już inne wydanie niż aktualne.
Zabieranie się za zadania z trygonometrii, gdy nie wiesz za wiele o trygonometrii, to chyba odwrotna kolejność niż pożądana (najpierw warto się dowiedzieć) - acz coś tam wiesz, a jeśli nawet niewiele wiesz, to za to coś dostrzegasz, a to ważniejsze (ten pomysł z sinusem sumy był całkiem fajny). Skoro w podręczniku nie ma takiej rzeczy, to albo nie jest to dobry podręcznik, albo trygonometrię znowu przesunięto do innej klasy.

Narysuj sobie albo znajdź wykres sinusa (no właściwie to tylko kawałek wykresu) i zauważ pewną symetrię tego wykresu względem \(\displaystyle{ \pi}\):

AU

wykresy_funkcji_trygonometrycznych_5.png (36.21 KiB) Przejrzano 76 razy

stąd \(\displaystyle{ \sin x=\sin(\pi-x)}\) (można to też wykazać z użytego przez Ciebie wzoru na sinus sumy), no i stąd bierze się ta druga seria rozwiązań.
\(\displaystyle{ \sin x=\sin y \Leftrightarrow x=y+2k\pi \vee x=\pi-y+2k\pi, k \in \ZZ}\)

[nicrovishion]

Trygonometria w liceum jest, po prostu w podręczniku nie ma przykładów z sinusem różnych kątów, a jeśli jest to sprowadzany jest do postaci iloczynowej. To nie tak, że nie wiem za wiele o trygonometrii - trochę się chyba nie zrozumieliśmy, z tematem jadę do przodu, bo jak już zdążyłeś zauważyć podręcznik zbyt wymagający nie jest, nauczycielka kieruje się tylko nim tak naprawdę. Wolę jechać do przodu z materiałem i się trochę pomęczyć, niż liczyć w kółko to samo.
Bardzo dziękuję za rozwianie wątpliwości oraz propozycję książek .

Pozdrawiam