Równanie trygonometryczne

[nicrovishion]

\(\displaystyle{ \sin{x} + \sin{2x} + \sin{3x} + \sin{4x} = 0}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 2 \sin{2x} \cos{x} + \sin{2x} + 2 \sin{2x} \cos{2x} = 0\\
\sin{2x}(2 \cos{x} + 1 + 2 \cos{2x}) = 0 \\
\sin{2x} \cos{x} (2\cos{x} + 1) = 0}\)

Z tym, że rozwiązania nie zgadzają mi się z tymi 'kiełbasianymi', które wynoszą (te ze zbioru):
\(\displaystyle{ x = \frac{2 \pi }{5} + k \pi}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{ \pi }{2} + k \pi}\)

\(\displaystyle{ x = \pi + 2k \pi}\)

[Janpostal]

Może zrób w ten sposób:
\(\displaystyle{ \sin{x} + \sin{3x} + \sin{2x} + \sin{4x} = 0}\)
Zastosuj do dwóch pierwszych i do dwóch ostatnich wyrazów wzór na sumę sinusów, poskracaj co się da, wyłącz przed nawias co się da i jeszcze raz zastosuj wzór na sumę sinusów, otrzymasz już wtedy gotowe rozwiązanie.

[macik1423]

Coś to ostatnie przekształcenie jest niedobre.
Do tego momentu jest ok \(\displaystyle{ \sin{2x}(2 \cos{x} + 1 + 2 \cos{2x{) = 0}\).

[nicrovishion]

\(\displaystyle{ \sin{2x} (2 \cos{x} + 1 + 2 \cos{2x}) = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin{2x} (4 \cos^2{x} + 2 \cos {x} - 1) = 0}\)
Podstawiam \(\displaystyle{ t = \cos{x}, t \in \left\langle -1, 1\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5} }{4}}\)
\(\displaystyle{ t_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5} }{4}}\)
Co dalej?

[pawlo392]

Skorzystaj z rady Janpostal, będzie dużo "ładniej" wychodzić.