Udownic nierownosc

[pvnrt]

Udowodnić, że dla każdego x,y,z z przedziału \(\displaystyle{ (0; \frac{\pi}{2} )}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sin{(x+y+z)}<\sin{x}+\sin{y}+\sin{z}}\).

[pawlo392]

Jeżeli miara kąta jest nieujemna i nie większa od \(\displaystyle{ 180}\) to \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3} \le \sin \frac{ \alpha + \beta + \gamma}{3}}\)

[PiotrowskiW]

Weź ten wzór:
135790.htm tylko go popraw bo jest błąd "rachunkowy"
i skorzystaj z własności funkcji trygonometrycznych w zadanym przedziale (zbiór wartości).

[Milczek]

Jeżeli miara kąta jest nieujemna i nie większa od \(\displaystyle{ 180}\) to \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3} \le \sin \frac{ \alpha + \beta + \gamma}{3}}\)

Cytat z Kiełbasy jak mniemam , lecz w tym przypadku raczej nie o cytowanie chodzi autorowi tematu

[Premislav]

\(\displaystyle{ \sin{(x+y+z)}<\sin{x}+\sin{y}+\sin{z} \Leftrightarrow \sin(x+y)\cos z+\cos (x+y)\sin z <\\ < \sin x+\sin y+\sin z}\)

- użyłem wzoru na sinus sumy. Dalej wystarczy pokazać \(\displaystyle{ \sin(x+y) \le \sin x+\sin y}\), bo jednego cosinusa i jednego sinusa możemy oszacować z góry (ostro, bo przedział otwarty) przez jedynki. A to można zrobić też rozpisując ze wzoru na sinus sumy, korzystając z tego, że w tym przedziale sinusy są dodatnie, no i dla każdego \(\displaystyle{ t\in \RR}\) mamy \(\displaystyle{ \cos t \le 1}\)

[pawlo392]

Jeżeli miara kąta jest nieujemna i nie większa od \(\displaystyle{ 180}\) to \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3} \le \sin \frac{ \alpha + \beta + \gamma}{3}}\)

Cytat z Kiełbasy jak mniemam , lecz w tym przypadku raczej nie o cytowanie chodzi autorowi tematu

Brawo. Ale całkiem ciekawe twierdzenie.

[Kartezjusz]

Nierówność Jensena